初中数学分类讨论课件

发布时间:2017-07-27 来源: 数学 点击:

篇一:初中数学分类讨论问题专题

中考数学专题复习——分类讨论问题

一、教学目标

使学生养成分类讨论思想,并掌握一定的分类技巧,以及常见题型的分类方法。形成一定

的分类体系,对待问题能有更严谨、缜密的思维。

二、教学重点

对常见题型分类方法的掌握;能够灵活运用一般的分类技巧。

三、教学难点

对于分类的“界点”、“标准”把握不准确,容易出现重复解、漏解等现象。

四、板书设计

1:分式方程无解的分类讨论问题;

2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题;

3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题;

4:分类问题在动点问题中的应用;

4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论;

4.2组合图形(二次函数、一次函数、平面图形等组合)中动点问题的分类。

1:分式方程无解的分类讨论问题

3ax4?2?无解,求a? 例题1:(2011武汉)x?3x?9x?3

解:去分母,得:

3(x?3)?ax?4(x?3)

?(a-1)x??21

2121由已知-??3或-?3或a?1?0a-1a-1

?a?8,a??6.或者a?1

猜想:把“无解”改为“有增根”如何解? a?8或a??6

2a??2无解,求a?例题2:(2011郴州) x?1x?1

2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题

例题3:(2010上海)已知方程m2x2?(2m?1)x?1?0有实数根,求m的取值范围。

(1) 当m?0时,即m=0时,方程为一元一次方程x+1=0,有实数根x=?1 2

- 1 -

(2) 当m?0时,方程为一元二次方程,根据有实数根的条件得:2

1??(2m?1)2?4m2?4m?1?0,即m?-,且m2?0 4

1综(1)(2)得,m?? 4

常见病症:(很多同学会从(2)直接开始而且会忽略m2?0的条件)

总结:字母系数的取值范围是否要讨论,要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种(1)前置式,

即“二次方程”;(2)后置式,即“两实数根”。这都是表明是二次方程,不需要讨论,但切不可忽视二

次项系数不为零的要求,本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。

例题4:(2011益阳)当m是什么整数时,关于x的一元二次方程mx2?4x?4?0与

x2?4mx?4m2?4m?5?0的根都是整数。

解:因为是一元二次方程,所以二次项系数不为0,即m2?0,m?0,?1?0,解得m?1. 同理,?2?0,解得m??.??5

45?m?1且m?0,又因为m为整数?m取?1或1. 4

(1)当m=—1时,第一个方程的根为x??2?22不是整数,所以m=—1舍去。

(2)当m=1时,方程1、2的根均为整数,所以m=1.

练习:已知关于x的一元二次方程(m?1)x2?x?1?0有实数根,则m的取值范围是:

?m?1?05?m?且m?1 ?4???0

3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题

例题:5:(2011青海)方程x2?9x?18?0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形

的周长为( )

A 12 B 12或15C 15 D 不能确定

例题6:(2011武汉)三角形一边长AB为13cm,另一边AC为15cm,BC上的高为12cm,

求此三角形的面积。(54或84)

例题8:(2011四校联考)一条绳子对折后成右图A、B, A.B上一点C,且有BC=2AC,将

其从C点剪断,得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为:60cm或120cm

- 2 - A C

4:动点问题的分类分类讨论问题

4.1:常见平面问题中动点问题的分类讨论;

例题9:(2011永州)正方形ABCD的边长为10cm,一动点P从点A出发,以2cm/

秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图,回到A

点停止,求点P运动

t秒时,

P,D两点间的距离。

解:点P从A点出发,分别走到B,C,D,A所用时间是 秒, 秒, 秒, 秒,即5秒,10秒,15秒,20秒。

∴(1)当0≤t<5时,点P在线段

AB上,|PD|=|P1D|=

(cm)

(2)当5≤t<10时,点P在线段BC上,|PD|=|P2D|=

(3)当10≤t<15时,点

P在线段CD上,|PD|=|P3D|=30-2t

(4)当15≤t≤20时,点P在线段DA上,|PD|=|P4D|=2t-30 p2综上得:|PD|=

总结:本题从运动的观点,考查了动点P与定点D之间的距离,应根据P点的不同位置构造出不同的几何图形,将线段PD放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。

4.2:组合图形(一次函数、二次函数与平面图形等组合)中动点问题的分类。

例题10:(2010福建)已知一次函数y??

x轴上找一点P,使△PAB为等腰三角形。

分析:本题中△PAB由于P点位置不确定而没有确定,而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。△PAB是等腰三角形有几种可能?我们可以按腰的可能情况加以分类:(1)PA=PB;

(2)PA=AB;(3)PB=AB。先可以求出B点坐标(0,3),A点坐标(9,0)。设P点坐

0),利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程,求出P点坐标有四解,分别标为(x,3x?3与x轴、y轴的交点分别为A、B,试在3

为(?9,0)、(3,0)、(9?6,0)、(9?6,0)。(不适合条件的解已舍去)

总结:解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置,紧扣条件,分类画出各种符合条件的图形。另外,由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置,从而需对不同位置分别求其结果,否则漏解。

- 3 -

例11:(2010湖北)如图,正方形ABCD的边长是2,BE=CE,MN=1,

线段MN的两端在CD、AD上滑动.当DM=

时,△ABE与以D、

M、N为项点的三角形相似。

分析与解答 勾股定理可得ABE与以D、M、N为项点的三角形相似时,DM可以与BE是对应边,也可以与AB

是对应边,所以本题分两种情况: (1) 当DM

与BE是对应边时,

即DM?DM?1M D N B C DM

MN, ?ABAE.(2)当

DM与AB是对应边时,

DM

DMMN?DM?,即 故DM. ?2ABAE

例题12:(2011湘潭)如图,直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使三角形ABQ

是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不

存在,请说明理由。 说明 从以上各例可以看出,分灯思想在几何中的较为广

泛.这类试题的解题思路是:对具有位置关系的几何图形,

要有分类讨论的意识,在熟悉几何问题所需要的基础知识

的前提下,正确应用分类思想方法,恰当地选择分类标准,是准确全面求解的根本保证.

解析:(1)抛物线解析式的求法:1,三点式;2,顶点

式(h,k);3,交点式。

易得:

y?a(x?1)(x?3)再结合点B(0,3)在抛物线上?y??x2?2x?3

(2) 依题意得AB?,抛物线的对称轴为x=1,设Q(1,y)

1) 以AQ为底,则有AB=QB,及?2?(y?3)2解得,y=0或y=6,又因为点(1,6)在直线AB上(舍去),所以此时存在一点Q(1,0)

2) 以BQ为底,同理则有AB=AQ,解的Q(1,6) Q(1,?6)

3) 以AB为底,同理则有QA=QB,存在点Q(1,1).

综上,共存在四个点分别为:(1,0)、(1,1)、(1,6) 、(1,?)

- 4 -

【作业训练】

1.已知等腰△ABC的周长为18㎝,BC=8㎝.若△ABC≌△A′B′C′,则△A′B′C′中一定有一定有条边等于()

A.7㎝ B.2㎝或7㎝ C.5㎝ D.2㎝或7㎝

2.(2010衡阳)若等腰三角形的两个角度的比是1:2,则这个三角形的顶角为()度。 A 30 B 60 C 30或90 D 60

3.A、B两地相距450千米,甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行.已知甲车速度为120千米/时,乙车速度为80千米/时,以过t小时两车相距50千米,则t的值是()

A.2或2.5 B.2或10 C.10或12.5 D.2或12.5

4.已知⊙O的半径为2,点P是⊙O外一点,OP的长为3,那么以P这圆心,且与⊙O相切的圆的半径一定是( )

A.1或5 B.1C.5 D.不能确定

5.(2011株洲市)两圆的圆心距d=5,他们的半径分别是一元二次方程x2?5x?4?0的两根,判断这两圆的位置关系:

6.已知点P是半径为2的⊙O外一点,PA是⊙O的切线,切点为A,且PA=2,在⊙O内作

了长为的弦AB,连续PB,则PB的长为

7.(2010四校联考)在等腰三角形ABC中,AB=AC,一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分,则这个三角形的底边长为:.

8:变换例题12,请问是否在x轴,y轴上存在点P,使得P,B,C三点组成的图形为等腰三角形,请说明理由。

【参考答案】

1.D 2 .C 3. A4.A

5.外切

6. 2或7. 7或11

- 5 -

篇二:初中数学分类讨论问题专题.doc上课

中考数学专题复习——分类讨论问题

教学目标

1.掌握常见题型分类方法;能够灵活运用一般的分类技巧。

2.明确分类的“界点”、“标准”。

一、 热点再练

1.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是()

A. 80° B. 80°或20° C. 80°或50°D. 20°

2.已知三角形相邻两边长分别为13cm和15 cm,第三边上的高为 12 cm,则此三

角形的面积为________cm2

A 84 B 24C84或24 D54

3.在直角坐标系中,O为坐标原点,已知 A(1,1),在x轴上确定点P,使得△

AOP为等腰三角形,则符合条件的P点共有个。

4.半径为5的圆中,有弦AB平行CD,AB=8,CD=6,则AB与CD之

间的距离_______

5.在半径为1的圆中,弦AB、AC的长分别是、 ,则∠BAC的度数是 。

6. 已知方程m2x2?(2m?1)x?1?0有实数根,则m的取值范围。

知识点:

1.等腰三角形的角有_____和______其中的底角可以是____________.(按角的类

型进行分类)

2.三角形的高可以在________也可以在_______________(按图形的形状进行)

3.圆是轴对称图形,相等的弦,如平行弦,从一个顶点出发的弦会在对称抽的两侧(按图形的性质)

4.初中阶段的方程有_______,__________.__________(按定义分类)

二、规律剖析

例1正方形ABCD的边长为10cm,一动点P从点A出发,以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图,回到A点停止,求点P运动t点间的距离。

p2

总结:本题从运动的观点,考查了动点P与定点D之间的距离,应根据P点的不同位置构造出不同的几何图形,关键找出分界点。

练习:

例2.如图,已知⊙O的半径为6 cm,射线PM经过点O,OP=10 cm,射线PN与⊙O

相切于点Q.A、B两点同时从点P出发,点A以5 cm/s的速度沿射线PM方向

运动,点B以4 cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时间为t (s).

(1)求PQ的长;

(2)当t为何值时,直线AB与⊙O相切?

课堂检测:

1.若等腰三角形有两条边的长度为3和1,则此等腰三角形的周长为( ) A.5 B.7 C.5或7 D.6

2.在平面直角坐标系中,三点坐标分别是(0,0)(4,0)(3,2),以三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点不可能在( )。

A 、第一象限B 、第二象限 C 、第三象限D 、第四象限

3.如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=4,点P是边AB上

一点,若△APD与△BPC相似,则满足条件的点P有 个.

4.若等腰三角形的两个角度的比是1:2,则这个三角形的顶角为()度。

A 30 B 60 C 30或90 D 60

5.若直线 y=-x+b 与两坐标轴围成的三角形的面积是2,则b的值为 ;

6.已知关于x的一元二次方程(m?1)x2?x?1?0有实数根,则m的取值范围是:_______

总结:运动与数形结合进行分类

四、板书设计

1:分式方程无解的分类讨论问题;

2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题;

3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题;

4:分类问题在动点问题中的应用;

4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论;

4.2组合图形(二次函数、一次函数、平面图形等组合)中动点问题的分类。

1:分式方程无解的分类讨论问题

3ax4?2?无解,求a? 例题1:(2011武汉)x?3x?9x?3

解:去分母,得:

3(x?3)?ax?4(x?3)

?(a-1)x??21

2121由已知-??3或-?3或a?1?0a-1a-1

?a?8,a??6.或者a?1

猜想:把“无解”改为“有增根”如何解? a?8或a??6

2a??2无解,求a?例题2:(2011郴州) x?1x?1

2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题

例题3:(2010上海)已知方程m2x2?(2m?1)x?1?0有实数根,求m的取值范围。

(1) 当m?0时,即m=0时,方程为一元一次方程x+1=0,有实数根x=?1

(2) 当m?0时,方程为一元二次方程,根据有实数根的条件得:22

1??(2m?1)2?4m2?4m?1?0,即m?-,且m2?0 4

1综(1)(2)得,m?? 4

常见病症:(很多同学会从(2)直接开始而且会忽略m2?0的条件)

总结:字母系数的取值范围是否要讨论,要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种(1)前置式,即“二次方程”;(2)后置式,即“两实数根”。这都是表明是二次方程,不需要讨论,但切不可忽视二次项系数不为零的要求,本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。

例题4:(2011益阳)当m是什么整数时,关于x的一元二次方程mx2?4x?4?0与x2?4mx?4m2?4m?5?0的根都是整数。

解:因为是一元二次方程,所以二次项系数不为0,即m2?0,m?0,?1?0,解得m?1. 同理,?2?0,解得m??.??5

45?m?1且m?0,又因为m为整数?m取?1或1. 4

(1)当m=—1时,第一个方程的根为x??2?22不是整数,所以m=—1舍去。

(2)当m=1时,方程1、2的根均为整数,所以m=1.

练习:已知关于x的一元二次方程(m?1)x?x?1?0有实数根,则m的取值范围是: 2

?m?1?05?m?且m?1 ?4???0

篇三:初中数学分类讨论问题专题

中考数学专题复习——分类讨论问题

一、教学目标

使学生养成分类讨论思想,并掌握一定的分类技巧,以及常见题型的分类方法。形成一定的分类体系,对待问题能有更严谨、缜密的思维。

二、教学重点

对常见题型分类方法的掌握;能够灵活运用一般的分类技巧。

三、教学难点

对于分类的“界点”、“标准”把握不准确,容易出现重复解、漏解等现象。

四、板书设计

1:分式方程无解的分类讨论问题;

2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题;

3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题; 4:分类问题在动点问题中的应用;

4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论;

4.2组合图形(二次函数、一次函数、平面图形等组合)中动点问题的分

类。

五、教学用具

打印互动背景资料、三角板、多媒体。

六、作业布置

附后

1:分式方程无解的分类讨论问题

例题1:(2011武汉)解:去分母,得:

3x?3

?

axx?9

2

?

4x?3

无解,求a?

3(x?3)?ax?4(x?3)?(a-1)x??21

由已知-

21a-1

??3或-

21a-1

?3或a?1?0

?a?8,a??6.或者a?1

猜想:把“无解”改为“有增根”如何解? a?8或a??6 例题2:(2011郴州)

2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题

例题3:(2010上海)已知方程m2x2?(2m?1)x?1?0有实数根,求m的取值范围。

(1) 当m2?0时,即m=0时,方程为一元一次方程x+1=0,有实数根x=?1 (2) 当m2?0时,方程为一元二次方程,根据有实数根的条件得:

??(2m?1)?4m

2

2

2x?1

?

ax?1

?2无解,求a?

?4m?1?0,即m?-

14

,且m2?0

综(1)(2)得,m??

14

常见病症:(很多同学会从(2)直接开始而且会忽略m2?0的条件)总结:字母系数的取值范围是否要讨论,要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两

种(1)前置式,即“二次方程”;(2)后置式,即“两实数根”。这都是表明是二次方程,不需要讨论,但切不可忽视二次项系数不为零的要求,本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。

例题4:(2011益阳)当m是什么整数时,关于x的一元二次方程

mx

2

?4x?4?0

与x2?4mx?4m2?4m?5?0的根都是整数。

解:因为是一元二次方程,所以二次项系数不为0,即m2?0,m?0,

?1?0,解得m?1.

同理,?2?0,解得m??

54

.??

54

?m?1且m?0,又因为m为整数?m取?1或1.

(1)当m=—1时,第一个方程的根为x??2?22不是整数,所以m=—1舍去。(2)当m=1时,方程1、2的根均为整数,所以m=1.

练习:已知关于x的一元二次方程(m?1)x2?x?1?0有实数根,则m的取值范围是:

?m?1?05

?m?且m?1 ?

4???0

3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题

例题:5:(2011青海)方程x2?9x?18?0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为( )

A 12 B 12或15C 15 D 不能确定

例题6:(2011武汉)三角形一边长AB为13cm,另一边AC为15cm,BC上的高为12cm,求此三角形的面积。(54或84)

例题7:(2011湘西)若两圆相切,圆心距是7,其中一圆的半径为4,则另一圆的半径为:3或11.

例题8:(2011四校联考)一条绳子对折后成右图A、B, A.B上一点C,且有BC=2AC,将其从C点剪断,得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为:60cm或120cm

4:动点问题的分类分类讨论问题

A

C

4.1:常见平面问题中动点问题的分类讨论;

例题9:(2011永州)正方形ABCD的边长为10cm,一动点P从点A出发,以2cm/

秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图,回到A点停止,求点

P运动t

秒时, P

,D两点间的距离。

解:点P从A点出发,分别走到B,C,D,A所用时间是 秒, 秒, 10秒,15秒,20秒。

秒,

秒,即5秒,

p2

∴(1)当0≤t<5

时,点P在线段AB上,|PD|=|P1D|=

(cm)

初中数学分类讨论课件

(2)当5≤t<10时,点P在线段BC上,|PD|=|P2D|=

(3)当10≤t<15时,点

P在线段CD上,|PD|=|P3D|=30-2t(4)当15≤t≤20时,点P在线段DA上,|PD|=|P4D|=2t-30

综上得:|PD|=

总结:本题从运动的观点,考查了动点P与定点D之间的距离,应根据P点的不同位置构造出不同的几何图形,将线段PD放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。

4.2:组合图形(一次函数、二次函数与平面图形等组合)中动点问题的分类。 例题10:(2010福建)已知一次函数y??

33

x?33

与x轴、y轴的交点

分别为A、B,试在x轴上找一点P,使△PAB为等腰三角形。

分析:本题中△PAB由于P点位置不确定而没有确定,而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。△PAB是等腰三角形有几种可能?我们可以按腰的可能情况加以分类:(1)PA=PB;(2)PA=AB;(3)PB=AB。先可以求出B点坐标

(0,33)

,A点坐标(9,0)。设P点坐标为(x,0),利用两点间距离公式可对

三种分类情况分别列出方程,求出P点坐标有四解,分别为

(?9,0)、(3,0)、(9?63,0)、(9?63,0)。(不适合条件的解已舍去)

总结:解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置,紧扣条件,分类画出各种符合条件的图形。另外,由点的运动变化也

会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置,从而需对不同位置分别求其结果,否则漏解。

例11:(2010湖北)如图,正方形ABCD的边长是2,BE=CE,MN=1,线段MN的两端在CD、AD上滑动.当DM=时,△ABE与以D、M、

N为项点的三角形相似。

分析与解答 勾股定理可得AE=ABE与以D、M、N为项点的三角形相似时,DM可以与BE是对应边,也可以与AB是对应边,所以本题分两种情况: B

(1) 当DM与BE是对应边时,即

DM

AB

DM1

?DM?

DM2

5?

D

N

DMAB

?

MN

AE

E

C

.(2)当DM与AB是对应边时,

D

M?

5

?

MNAE

,即 故DM

的长是

5

5

例题12:(2011湘潭)如图,直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使三角形ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由。

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