初中数学分类讨论课件
发布时间:2017-07-27 来源: 数学 点击:
篇一:初中数学分类讨论问题专题
中考数学专题复习——分类讨论问题
一、教学目标
使学生养成分类讨论思想,并掌握一定的分类技巧,以及常见题型的分类方法。形成一定
的分类体系,对待问题能有更严谨、缜密的思维。
二、教学重点
对常见题型分类方法的掌握;能够灵活运用一般的分类技巧。
三、教学难点
对于分类的“界点”、“标准”把握不准确,容易出现重复解、漏解等现象。
四、板书设计
1:分式方程无解的分类讨论问题;
2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题;
3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题;
4:分类问题在动点问题中的应用;
4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论;
4.2组合图形(二次函数、一次函数、平面图形等组合)中动点问题的分类。
1:分式方程无解的分类讨论问题
3ax4?2?无解,求a? 例题1:(2011武汉)x?3x?9x?3
解:去分母,得:
3(x?3)?ax?4(x?3)
?(a-1)x??21
2121由已知-??3或-?3或a?1?0a-1a-1
?a?8,a??6.或者a?1
猜想:把“无解”改为“有增根”如何解? a?8或a??6
2a??2无解,求a?例题2:(2011郴州) x?1x?1
2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题
例题3:(2010上海)已知方程m2x2?(2m?1)x?1?0有实数根,求m的取值范围。
(1) 当m?0时,即m=0时,方程为一元一次方程x+1=0,有实数根x=?1 2
- 1 -
(2) 当m?0时,方程为一元二次方程,根据有实数根的条件得:2
1??(2m?1)2?4m2?4m?1?0,即m?-,且m2?0 4
1综(1)(2)得,m?? 4
常见病症:(很多同学会从(2)直接开始而且会忽略m2?0的条件)
总结:字母系数的取值范围是否要讨论,要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种(1)前置式,
即“二次方程”;(2)后置式,即“两实数根”。这都是表明是二次方程,不需要讨论,但切不可忽视二
次项系数不为零的要求,本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。
例题4:(2011益阳)当m是什么整数时,关于x的一元二次方程mx2?4x?4?0与
x2?4mx?4m2?4m?5?0的根都是整数。
解:因为是一元二次方程,所以二次项系数不为0,即m2?0,m?0,?1?0,解得m?1. 同理,?2?0,解得m??.??5
45?m?1且m?0,又因为m为整数?m取?1或1. 4
(1)当m=—1时,第一个方程的根为x??2?22不是整数,所以m=—1舍去。
(2)当m=1时,方程1、2的根均为整数,所以m=1.
练习:已知关于x的一元二次方程(m?1)x2?x?1?0有实数根,则m的取值范围是:
?m?1?05?m?且m?1 ?4???0
3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题
例题:5:(2011青海)方程x2?9x?18?0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形
的周长为( )
A 12 B 12或15C 15 D 不能确定
例题6:(2011武汉)三角形一边长AB为13cm,另一边AC为15cm,BC上的高为12cm,
求此三角形的面积。(54或84)
例题8:(2011四校联考)一条绳子对折后成右图A、B, A.B上一点C,且有BC=2AC,将
其从C点剪断,得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为:60cm或120cm
- 2 - A C
4:动点问题的分类分类讨论问题
4.1:常见平面问题中动点问题的分类讨论;
例题9:(2011永州)正方形ABCD的边长为10cm,一动点P从点A出发,以2cm/
秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图,回到A
点停止,求点P运动
t秒时,
P,D两点间的距离。
解:点P从A点出发,分别走到B,C,D,A所用时间是 秒, 秒, 秒, 秒,即5秒,10秒,15秒,20秒。
∴(1)当0≤t<5时,点P在线段
AB上,|PD|=|P1D|=
(cm)
(2)当5≤t<10时,点P在线段BC上,|PD|=|P2D|=
(3)当10≤t<15时,点
P在线段CD上,|PD|=|P3D|=30-2t
(4)当15≤t≤20时,点P在线段DA上,|PD|=|P4D|=2t-30 p2综上得:|PD|=
总结:本题从运动的观点,考查了动点P与定点D之间的距离,应根据P点的不同位置构造出不同的几何图形,将线段PD放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。
4.2:组合图形(一次函数、二次函数与平面图形等组合)中动点问题的分类。
例题10:(2010福建)已知一次函数y??
x轴上找一点P,使△PAB为等腰三角形。
分析:本题中△PAB由于P点位置不确定而没有确定,而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。△PAB是等腰三角形有几种可能?我们可以按腰的可能情况加以分类:(1)PA=PB;
(2)PA=AB;(3)PB=AB。先可以求出B点坐标(0,3),A点坐标(9,0)。设P点坐
0),利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程,求出P点坐标有四解,分别标为(x,3x?3与x轴、y轴的交点分别为A、B,试在3
为(?9,0)、(3,0)、(9?6,0)、(9?6,0)。(不适合条件的解已舍去)
总结:解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置,紧扣条件,分类画出各种符合条件的图形。另外,由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置,从而需对不同位置分别求其结果,否则漏解。
- 3 -
例11:(2010湖北)如图,正方形ABCD的边长是2,BE=CE,MN=1,
线段MN的两端在CD、AD上滑动.当DM=
时,△ABE与以D、
M、N为项点的三角形相似。
分析与解答 勾股定理可得ABE与以D、M、N为项点的三角形相似时,DM可以与BE是对应边,也可以与AB
是对应边,所以本题分两种情况: (1) 当DM
与BE是对应边时,
即DM?DM?1M D N B C DM
MN, ?ABAE.(2)当
DM与AB是对应边时,
DM
DMMN?DM?,即 故DM. ?2ABAE
例题12:(2011湘潭)如图,直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使三角形ABQ
是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不
存在,请说明理由。 说明 从以上各例可以看出,分灯思想在几何中的较为广
泛.这类试题的解题思路是:对具有位置关系的几何图形,
要有分类讨论的意识,在熟悉几何问题所需要的基础知识
的前提下,正确应用分类思想方法,恰当地选择分类标准,是准确全面求解的根本保证.
解析:(1)抛物线解析式的求法:1,三点式;2,顶点
式(h,k);3,交点式。
易得:
y?a(x?1)(x?3)再结合点B(0,3)在抛物线上?y??x2?2x?3
(2) 依题意得AB?,抛物线的对称轴为x=1,设Q(1,y)
1) 以AQ为底,则有AB=QB,及?2?(y?3)2解得,y=0或y=6,又因为点(1,6)在直线AB上(舍去),所以此时存在一点Q(1,0)
2) 以BQ为底,同理则有AB=AQ,解的Q(1,6) Q(1,?6)
3) 以AB为底,同理则有QA=QB,存在点Q(1,1).
综上,共存在四个点分别为:(1,0)、(1,1)、(1,6) 、(1,?)
- 4 -
【作业训练】
1.已知等腰△ABC的周长为18㎝,BC=8㎝.若△ABC≌△A′B′C′,则△A′B′C′中一定有一定有条边等于()
A.7㎝ B.2㎝或7㎝ C.5㎝ D.2㎝或7㎝
2.(2010衡阳)若等腰三角形的两个角度的比是1:2,则这个三角形的顶角为()度。 A 30 B 60 C 30或90 D 60
3.A、B两地相距450千米,甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行.已知甲车速度为120千米/时,乙车速度为80千米/时,以过t小时两车相距50千米,则t的值是()
A.2或2.5 B.2或10 C.10或12.5 D.2或12.5
4.已知⊙O的半径为2,点P是⊙O外一点,OP的长为3,那么以P这圆心,且与⊙O相切的圆的半径一定是( )
A.1或5 B.1C.5 D.不能确定
5.(2011株洲市)两圆的圆心距d=5,他们的半径分别是一元二次方程x2?5x?4?0的两根,判断这两圆的位置关系:
6.已知点P是半径为2的⊙O外一点,PA是⊙O的切线,切点为A,且PA=2,在⊙O内作
了长为的弦AB,连续PB,则PB的长为
7.(2010四校联考)在等腰三角形ABC中,AB=AC,一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分,则这个三角形的底边长为:.
8:变换例题12,请问是否在x轴,y轴上存在点P,使得P,B,C三点组成的图形为等腰三角形,请说明理由。
【参考答案】
1.D 2 .C 3. A4.A
5.外切
6. 2或7. 7或11
- 5 -
篇二:初中数学分类讨论问题专题.doc上课
中考数学专题复习——分类讨论问题
教学目标
1.掌握常见题型分类方法;能够灵活运用一般的分类技巧。
2.明确分类的“界点”、“标准”。
一、 热点再练
1.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是()
A. 80° B. 80°或20° C. 80°或50°D. 20°
2.已知三角形相邻两边长分别为13cm和15 cm,第三边上的高为 12 cm,则此三
角形的面积为________cm2
A 84 B 24C84或24 D54
3.在直角坐标系中,O为坐标原点,已知 A(1,1),在x轴上确定点P,使得△
AOP为等腰三角形,则符合条件的P点共有个。
4.半径为5的圆中,有弦AB平行CD,AB=8,CD=6,则AB与CD之
间的距离_______
5.在半径为1的圆中,弦AB、AC的长分别是、 ,则∠BAC的度数是 。
6. 已知方程m2x2?(2m?1)x?1?0有实数根,则m的取值范围。
知识点:
1.等腰三角形的角有_____和______其中的底角可以是____________.(按角的类
型进行分类)
2.三角形的高可以在________也可以在_______________(按图形的形状进行)
3.圆是轴对称图形,相等的弦,如平行弦,从一个顶点出发的弦会在对称抽的两侧(按图形的性质)
4.初中阶段的方程有_______,__________.__________(按定义分类)
二、规律剖析
例1正方形ABCD的边长为10cm,一动点P从点A出发,以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图,回到A点停止,求点P运动t点间的距离。
p2
总结:本题从运动的观点,考查了动点P与定点D之间的距离,应根据P点的不同位置构造出不同的几何图形,关键找出分界点。
练习:
例2.如图,已知⊙O的半径为6 cm,射线PM经过点O,OP=10 cm,射线PN与⊙O
相切于点Q.A、B两点同时从点P出发,点A以5 cm/s的速度沿射线PM方向
运动,点B以4 cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时间为t (s).
(1)求PQ的长;
(2)当t为何值时,直线AB与⊙O相切?
课堂检测:
1.若等腰三角形有两条边的长度为3和1,则此等腰三角形的周长为( ) A.5 B.7 C.5或7 D.6
2.在平面直角坐标系中,三点坐标分别是(0,0)(4,0)(3,2),以三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点不可能在( )。
A 、第一象限B 、第二象限 C 、第三象限D 、第四象限
3.如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=4,点P是边AB上
一点,若△APD与△BPC相似,则满足条件的点P有 个.
4.若等腰三角形的两个角度的比是1:2,则这个三角形的顶角为()度。
A 30 B 60 C 30或90 D 60
5.若直线 y=-x+b 与两坐标轴围成的三角形的面积是2,则b的值为 ;
6.已知关于x的一元二次方程(m?1)x2?x?1?0有实数根,则m的取值范围是:_______
总结:运动与数形结合进行分类
四、板书设计
1:分式方程无解的分类讨论问题;
2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题;
3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题;
4:分类问题在动点问题中的应用;
4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论;
4.2组合图形(二次函数、一次函数、平面图形等组合)中动点问题的分类。
1:分式方程无解的分类讨论问题
3ax4?2?无解,求a? 例题1:(2011武汉)x?3x?9x?3
解:去分母,得:
3(x?3)?ax?4(x?3)
?(a-1)x??21
2121由已知-??3或-?3或a?1?0a-1a-1
?a?8,a??6.或者a?1
猜想:把“无解”改为“有增根”如何解? a?8或a??6
2a??2无解,求a?例题2:(2011郴州) x?1x?1
2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题
例题3:(2010上海)已知方程m2x2?(2m?1)x?1?0有实数根,求m的取值范围。
(1) 当m?0时,即m=0时,方程为一元一次方程x+1=0,有实数根x=?1
(2) 当m?0时,方程为一元二次方程,根据有实数根的条件得:22
1??(2m?1)2?4m2?4m?1?0,即m?-,且m2?0 4
1综(1)(2)得,m?? 4
常见病症:(很多同学会从(2)直接开始而且会忽略m2?0的条件)
总结:字母系数的取值范围是否要讨论,要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种(1)前置式,即“二次方程”;(2)后置式,即“两实数根”。这都是表明是二次方程,不需要讨论,但切不可忽视二次项系数不为零的要求,本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。
例题4:(2011益阳)当m是什么整数时,关于x的一元二次方程mx2?4x?4?0与x2?4mx?4m2?4m?5?0的根都是整数。
解:因为是一元二次方程,所以二次项系数不为0,即m2?0,m?0,?1?0,解得m?1. 同理,?2?0,解得m??.??5
45?m?1且m?0,又因为m为整数?m取?1或1. 4
(1)当m=—1时,第一个方程的根为x??2?22不是整数,所以m=—1舍去。
(2)当m=1时,方程1、2的根均为整数,所以m=1.
练习:已知关于x的一元二次方程(m?1)x?x?1?0有实数根,则m的取值范围是: 2
?m?1?05?m?且m?1 ?4???0
篇三:初中数学分类讨论问题专题
中考数学专题复习——分类讨论问题
一、教学目标
使学生养成分类讨论思想,并掌握一定的分类技巧,以及常见题型的分类方法。形成一定的分类体系,对待问题能有更严谨、缜密的思维。
二、教学重点
对常见题型分类方法的掌握;能够灵活运用一般的分类技巧。
三、教学难点
对于分类的“界点”、“标准”把握不准确,容易出现重复解、漏解等现象。
四、板书设计
1:分式方程无解的分类讨论问题;
2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题;
3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题; 4:分类问题在动点问题中的应用;
4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论;
4.2组合图形(二次函数、一次函数、平面图形等组合)中动点问题的分
类。
五、教学用具
打印互动背景资料、三角板、多媒体。
六、作业布置
附后
1:分式方程无解的分类讨论问题
例题1:(2011武汉)解:去分母,得:
3x?3
?
axx?9
2
?
4x?3
无解,求a?
3(x?3)?ax?4(x?3)?(a-1)x??21
由已知-
21a-1
??3或-
21a-1
?3或a?1?0
?a?8,a??6.或者a?1
猜想:把“无解”改为“有增根”如何解? a?8或a??6 例题2:(2011郴州)
2:“一元二次”方程系数的分类讨论问题
例题3:(2010上海)已知方程m2x2?(2m?1)x?1?0有实数根,求m的取值范围。
(1) 当m2?0时,即m=0时,方程为一元一次方程x+1=0,有实数根x=?1 (2) 当m2?0时,方程为一元二次方程,根据有实数根的条件得:
??(2m?1)?4m
2
2
2x?1
?
ax?1
?2无解,求a?
?4m?1?0,即m?-
14
,且m2?0
综(1)(2)得,m??
14
常见病症:(很多同学会从(2)直接开始而且会忽略m2?0的条件)总结:字母系数的取值范围是否要讨论,要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两
种(1)前置式,即“二次方程”;(2)后置式,即“两实数根”。这都是表明是二次方程,不需要讨论,但切不可忽视二次项系数不为零的要求,本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。
例题4:(2011益阳)当m是什么整数时,关于x的一元二次方程
mx
2
?4x?4?0
与x2?4mx?4m2?4m?5?0的根都是整数。
解:因为是一元二次方程,所以二次项系数不为0,即m2?0,m?0,
?1?0,解得m?1.
同理,?2?0,解得m??
54
.??
54
?m?1且m?0,又因为m为整数?m取?1或1.
(1)当m=—1时,第一个方程的根为x??2?22不是整数,所以m=—1舍去。(2)当m=1时,方程1、2的根均为整数,所以m=1.
练习:已知关于x的一元二次方程(m?1)x2?x?1?0有实数根,则m的取值范围是:
?m?1?05
?m?且m?1 ?
4???0
3:三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题
例题:5:(2011青海)方程x2?9x?18?0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为( )
A 12 B 12或15C 15 D 不能确定
例题6:(2011武汉)三角形一边长AB为13cm,另一边AC为15cm,BC上的高为12cm,求此三角形的面积。(54或84)
例题7:(2011湘西)若两圆相切,圆心距是7,其中一圆的半径为4,则另一圆的半径为:3或11.
例题8:(2011四校联考)一条绳子对折后成右图A、B, A.B上一点C,且有BC=2AC,将其从C点剪断,得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为:60cm或120cm
4:动点问题的分类分类讨论问题
A
C
4.1:常见平面问题中动点问题的分类讨论;
例题9:(2011永州)正方形ABCD的边长为10cm,一动点P从点A出发,以2cm/
秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图,回到A点停止,求点
P运动t
秒时, P
,D两点间的距离。
解:点P从A点出发,分别走到B,C,D,A所用时间是 秒, 秒, 10秒,15秒,20秒。
秒,
秒,即5秒,
p2
∴(1)当0≤t<5
时,点P在线段AB上,|PD|=|P1D|=
(cm)
(3)当10≤t<15时,点
P在线段CD上,|PD|=|P3D|=30-2t(4)当15≤t≤20时,点P在线段DA上,|PD|=|P4D|=2t-30
综上得:|PD|=
总结:本题从运动的观点,考查了动点P与定点D之间的距离,应根据P点的不同位置构造出不同的几何图形,将线段PD放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。
4.2:组合图形(一次函数、二次函数与平面图形等组合)中动点问题的分类。 例题10:(2010福建)已知一次函数y??
33
x?33
与x轴、y轴的交点
分别为A、B,试在x轴上找一点P,使△PAB为等腰三角形。
分析:本题中△PAB由于P点位置不确定而没有确定,而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。△PAB是等腰三角形有几种可能?我们可以按腰的可能情况加以分类:(1)PA=PB;(2)PA=AB;(3)PB=AB。先可以求出B点坐标
(0,33)
,A点坐标(9,0)。设P点坐标为(x,0),利用两点间距离公式可对
三种分类情况分别列出方程,求出P点坐标有四解,分别为
(?9,0)、(3,0)、(9?63,0)、(9?63,0)。(不适合条件的解已舍去)
总结:解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置,紧扣条件,分类画出各种符合条件的图形。另外,由点的运动变化也
会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置,从而需对不同位置分别求其结果,否则漏解。
例11:(2010湖北)如图,正方形ABCD的边长是2,BE=CE,MN=1,线段MN的两端在CD、AD上滑动.当DM=时,△ABE与以D、M、
N为项点的三角形相似。
分析与解答 勾股定理可得AE=ABE与以D、M、N为项点的三角形相似时,DM可以与BE是对应边,也可以与AB是对应边,所以本题分两种情况: B
(1) 当DM与BE是对应边时,即
DM
AB
DM1
?DM?
DM2
5?
D
N
DMAB
?
MN
AE
,
E
C
.(2)当DM与AB是对应边时,
D
M?
5
?
MNAE
,即 故DM
的长是
5
5
例题12:(2011湘潭)如图,直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使三角形ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由。
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