小学数学中的注水问题的解题方法

发布时间:2017-02-09 来源: 数学 点击:

篇一:数学问题之水管问题

水管问题

从数学的内容来看,水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程,注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题,不过是工作量有加有减罢了.因此,水管问题与工程问题的解题思路基本相同.

例15 甲、乙两管同时打开,9分钟能注满水池.现在,先打开甲管,10分钟后打开乙管,经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水,这个水池的容积是多少立方米?

甲每分钟注入水量是

乙每分钟注入水量是

因此水池容积是

答:水池容积是27立方米.

例16 有一些水管,它们每分钟注水量都相等.

现在

按预定时间注满水池,如果开始时就打开10根水管,中途不增开水管,也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管?

答:开始时打开6根水管.

例17 蓄水池有甲、丙两条进水管,和乙、丁两条排水管.要灌满一池水,单开甲管需3小时,单开丙管需要5小时.要排光一池水,单开乙管需要

、乙、……的顺序轮流打开1小时,问多少时间后水开始溢出水池?

,否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出.

以后(20小时),池中的水已有

此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的:一只掉进了枯井的青蛙,它要往上爬30尺才能到达井口,每小时它总是爬3尺,又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口?

看起来它每小时只往上爬3- 2= 1(尺),但爬了27小时后,它再爬1小时,往上爬了3尺已到达井口.

因此,答案是28小时,而不是30小时.

例18 一个蓄水池,每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头,2小时半就把水池水放空,如果打开8个水龙头,1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头,问要多少时间才能把水放空?

解:先计算1个水龙头每分钟放出水量.

2小时半比1小时半多60分钟,多流入水

4 × 60= 240(立方米).

时间都用分钟作单位,1个水龙头每分钟放水量是

240 ÷ ( 5× 150- 8 × 90)= 8(立方米),

8个水龙头1个半小时放出的水量是

8 × 8 × 90,

其中 90分钟内流入水量是 4 × 90,因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400(立方米).

打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13,除去每分钟流入4,其余将放出原存的水,放空原存的5400,需要

5400 ÷(8 × 13- 4)=54(分钟).

答:打开13个龙头,放空水池要54分钟.

水池中的水,有两部分,原存有水与新流入的水,就需要分开考虑,解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.

例19 一个水池,地下水从四壁渗入池中,每小时渗入水量是固定的.打开A管,8小时可将满池水排空,打开C管,12小时可将满池水排空.如果打开A,B两管,4小时可将水排空.问打开B,C两管,要几小时才能将满池水排空?解:设满水池的水量为1.

A管每小时排出

A管4小时排出

因此,B,C两管齐开,每小时排水量是

B,C两管齐开,排光满水池的水,所需时间是

答: B, C两管齐开要 4 小时 48分才将满池水排完.

本题也要分开考虑,水池原有水(满池)和渗入水量.由于不知具体数量,像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.事实上,也可以整数化,把原有水设为8与12的最小公倍数 24.

17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本《普遍算术》一书,书中提出了一个“牛吃草”问题,这是一道饶有趣味的算术题.从本质上讲,与例18和例19是类同的.题目涉及三种数量:原有草、新长出的草、牛吃掉的草.这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量,是完全类同的.

例20 有三片牧场,场上草长得一样密,而且长得一

篇二:工程问题公式注水问题

在日常生活中,做某一件事,制造某种产品,完成某项任务,完成某项工程等等,都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量,它们之间的基本数量关系是 工作量=工作效率×时间.

在小学数学中,探讨这三个数量之间关系的应用题,我们都叫做“工程问题”. 举一个简单例子.

一件工作,甲做10天可完成,乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成? 一件工作看成1个整体,因此可以把工作量算作1.所谓工作效率,就是单位时间内完成的工作量,我们用的时间单位是“天”,1天就是一个单位,

再根据基本数量关系式,得到

所需时间=工作量÷工作效率

=6(天)?

两人合作需要6天.

这是工程问题中最基本的问题,这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.

为了计算整数化(尽可能用整数进行计算),如第三讲例3和例8所用方法,把工作量多设份额.还是上题,10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份,乙每天完成2份.两人合作所需天数是

30÷(3+ 2)= 6(天)

数计算,就方便些.

∶2.或者说“工作量固定,工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比,从比例角度考虑问题,也

需时间是

因此,在下面例题的讲述中,不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法,而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”,也许会使我们的解题思路更灵活一些.

一、两个人的问题

标题上说的“两个人”,也可以是两个组、两个队等等的两个集体.

例1 一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成.现在甲先做了3天,余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部

小学数学中的注水问题的解题方法

工作?

答:乙需要做4天可完成全部工作.

解二:9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份,乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是

(18- 2 × 3)÷ 3= 4(天).

解三:甲与乙的工作效率之比是

6∶ 9= 2∶ 3.

甲做了3天,相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4(天). 例2 一件工作,甲、乙两人合作30天可以完成,共同做了6天后,甲离开了,由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天? 解:共做了6天后,

原来,甲做 24天,乙做 24天,

现在,甲做0天,乙做40=(24+16)天.

这说明原来甲24天做的工作,可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率 如果乙独做,所需时间是

如果甲独做,所需时间是

答:甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.

例3 某工程先由甲独做63天,再由乙单独做28天即可完成;如果由甲、乙两人合作,需48天完成.现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么乙还需要做多少天?

解:先对比如下:

甲做63天,乙做28天;

甲做48天,乙做48天.

就知道甲少做63-48=15(天),乙要多做48-28=20(天),由此得出甲的

甲先单独做42天,比63天少做了63-42=21(天),相当于乙要做

因此,乙还要做

28+28= 56 (天).

答:乙还需要做 56天.

例4 一件工程,甲队单独做10天完成,乙队单独做30天完成.现在两队合作,其间甲队休息了2天,乙队休息了8天(不存在两队同一天休息).问开始到完工共用了多少天时间?

解一:甲队单独做8天,乙队单独做2天,共完成工作量

余下的工作量是两队共同合作的,需要的天数是

2+8+ 1= 11(天).

答:从开始到完工共用了11天.

解二:设全部工作量为30份.甲每天完成3份,乙每天完成1份.在甲队单独做8天,乙队单独做2天之后,还需两队合作

(30- 3 × 8- 1× 2)÷(3+1)= 1(天).

解三:甲队做1天相当于乙队做3天.

在甲队单独做 8天后,还余下(甲队) 10-8= 2(天)工作量.相当于乙队要做2×3=6(天).乙队单独做2天后,还余下(乙队)6-2=4(天)工作量.

4=3+1,

其中3天可由甲队1天完成,因此两队只需再合作1天.

例5 一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做,其间甲队休息了3天,乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天?

解一:如果16天两队都不休息,可以完成的工作量是

由于两队休息期间未做的工作量是

乙队休息期间未做的工作量是

乙队休息的天数是

答:乙队休息了5天半.

解二:设全部工作量为60份.甲每天完成3份,乙每天完成2份.

两队休息期间未做的工作量是

(3+2)×16- 60= 20(份).

因此乙休息天数是

(20- 3 × 3)÷ 2= 5.5(天).

解三:甲队做2天,相当于乙队做3天.

甲队休息3天,相当于乙队休息4.5天.

如果甲队16天都不休息,只余下甲队4天工作量,相当于乙队6天工作量,乙休息天数是

16-6-4.5=5.5(天).

例6 有甲、乙两项工作,张单独完成甲工作要10天,单独完成乙工作要15天;李单独完成甲工作要 8天,单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作,那么这两项工作都完成最少需要多少天?

解:很明显,李做甲工作的工作效率高,张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲,张先做乙.

设乙的工作量为60份(15与20的最小公倍数),张每天完成4份,李每天完成3份.

8天,李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作(60-4×8)份.由张、李合作需要 (60-4×8)÷(4+3)=4(天).

8+4=12(天).

答:这两项工作都完成最少需要12天.

例7 一项工程,甲独做需10天,乙独做需15天,如果两人合作,他

要8天完成这项工程,两人合作天数尽可能少,那么两人要合作多少天? 解:设这项工程的工作量为30份,甲每天完成3份,乙每天完成2份. 两人合作,共完成

3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2(份).

因为两人合作天数要尽可能少,独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成,所以两人合作的天数是

(30-3×8)÷(4.2-3)=5(天).

很明显,最后转化成“鸡兔同笼”型问题.

例8 甲、乙合作一件工作,由于配合得好,甲的工作效率比单独做时

如果这件工作始终由甲一人单独来做,需要多少小时?

解:乙6小时单独工作完成的工作量是

乙每小时完成的工作量是

两人合作6小时,甲完成的工作量是

甲单独做时每小时完成的工作量

甲单独做这件工作需要的时间是

答:甲单独完成这件工作需要33小时.

这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是,“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化,当求出乙每

有一点方便,但好处不大.不必多此一举.

二、多人的工程问题

我们说的多人,至少有3个人,当然多人问题要比2人问题复杂一些,但是解题的基本思路还是差不多.

例9 一件工作,甲、乙两人合作36天完成,乙、丙两人合作45天完成,甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成?

解:设这件工作的工作量是1.

甲、乙、丙三人合作每天完成

减去乙、丙两人每天完成的工作量,甲每天完成

答:甲一人独做需要90天完成.

例9也可以整数化,设全部工作量为180份,甲、乙合作每天完成5份,乙、丙合作每天完成4份,甲、丙合作每天完成3份.请试一试,计算是否会方便些? 例10 一件工作,甲独做要12天,乙独做要18天,丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天,然后由乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的3倍,再由丙接着做,丙做的天数是乙做的天数的2倍,终于做完了这件工作.问总共用了多少天?

解:甲做1天,乙就做3天,丙就做3×2=6(天).

说明甲做了2天,乙做了2×3=6(天),丙做2×6=12(天),三人一共做了 2+6+12=20(天).

答:完成这项工作用了20天.

本题整数化会带来计算上的方便.12,18,24这三数有一个易求出的最小公倍数

72.可设全部工作量为72.甲每天完成6,乙每天完成4,丙每天完成3.总共用了

例11 一项工程,甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天,乙就要多做4天,或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天? 解:丙2天的工作量,相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2(倍),甲、乙合作1天,与乙做4天一样.也就是甲做1天,相当于乙做3天,甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.

他们共同做13天的工作量,由甲单独完成,甲需要

答:甲独做需要26天.

事实上,当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1,就知甲做1天,相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天,其中乙、丙两人完成的工作量,可转化为甲再做13天来完成.

例12 某项工作,甲组3人8天能完成工作,乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作?

解一:设这项工作的工作量是1.

甲组每人每天能完成

乙组每人每天能完成

甲组2人和乙组7人每天能完成

答:合作3天能完成这项工作.

解二:甲组3人8天能完成,因此2人12天能完成;乙组4人7天能完成,因此7人4天能完成.

现在已不需顾及人数,问题转化为:

甲组独做12天,乙组独做4天,问合作几天完成?

小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型,如果你心算较好,很快就能得出答数.

篇三:小学数学解决问题解题策略

小学数学解决问题解题步骤

防城区峒中镇小学 韦达良

【内容摘要】:在小学数学教育教学中,解决问题(也说应用题)顾名思义就是利用数学方法去解决一些实际问题,最简单的建模就是我们做的应用题。在整个小学数学教学中,解决问题占有相当大的比例(约为25%~32%),所以如何解答好应用题是学习好数学的一个关键的环节。本文主要是由笔者平时教学中如何解决应用题的一些心得体会,从中总结了读(弄清题意)、分(应用题分类)、解(做出解答)三个步骤。通过以下所述,希望可以帮助学生更容易的解答应用题,使解题能够起到事半功倍。

【关键词】:解决问题 读 分 解

在小学数学的学习生活中,解决问题所占的比例很大,约为25%~32%,同时在现实生活中,我们也可以用所学到的应用题来解决实际的问题,例如:几个家庭聚会用餐,习惯AA制,按人数分摊费用,因此也可以这么说解决问题是生活的需要,数学来源于生活,而服务于生活。其实解决问题的学习是对小学生进行思维训练,小学生通过学习,起到培养数学逻辑思维能力,提高其数学素质。

笔者认为应用题的教学,一定要加强学生思维能力的训练,语言的训练,强化学生归类应用题的能力,并通过对题目的阅读理解基础上,迅速对所做的题目进行有效的分类,根据应用题各种类型题,对准问题做出相应的解答。这样才能提高学生灵活解决实际问题的能力。为此,总结我多年的数学应用题的教学心得,在常见的数学几种应用题中,得出解决应用题的以下步骤:读――分――解。现分述如下,希望可以帮助学生更好地学习小学数学应用题。

一、 读

小学数学应用题上所谓的读,我是指读懂题目,弄清题意。应用题是用语言 表述的一类题型,对数学语言的理解能力要求非常高。因此,读题便成为解答应用题的一个重要环节,它是学生自己感知信息数据的过程,弄清题意是把不相关的语言精简掉,整理出有用的信息数据进行下一步的分析理解。现在很多应用题不但考的是数学常识,还考查了语文的阅读能力,还有转化问题的能力。可能有些人会说数学的读看起来很简单,平时不太注意的去强调和有意识的去训练,造成学生在解答应用题时,没有充分理解题目的基本含义,解题就没有方法可论,甚至是无从下手。所以我们在教学应用题时,有必要的加强读。但数学应用题的读并非泛泛而读,它要求讲究一定的方式,数学中的读不讲究抑扬顿挫、优美动听,但需要用心、用脑、集中注意的读,一般来讲要读三遍:第一遍初读,对题目有初步印象;第二遍应逐字逐句的读,重点理解每个词、数学术语的实际含义;第三遍连贯起来读,重点掌握题目的已知条件和所求问题。

例:人教版六年级数学十一册第38页上的例5,小明的体重是35kg,他的体重比爸爸的体重轻8/15,小明爸爸的体重是多少千克?

在读这个题目的时候需要通过大脑反映弄清四个问题:

1、这道题叙述的是什么事?

2、题目第一条件是什么?

3、第二条件是什么?关键词是什么:谁和谁比?比什么?比的结果怎样?

4、问题是什么?按题目的题型格式,属于哪种应用题?

通过四问,读懂了题目,弄清了题意,掌握了已知条件和所求问题,更加重要的是把应用题进行了归类,为下面的解答扫清了障碍。

二、 分

分,笔者认为,在我们整个小学阶段的数学应用题学习中,出现了很多种类型的应用题,有些是平时应用得比较广泛的,在日常学习中就应该注意归纳总结出典型题的特征,题目中所包含的主要特点,分类训练,强化记忆。如:

1、总数应用题

我这里所说的总数应用题泛指是应用题中出现的总数、路程的全长、单位“1” 所对应的数,“占”字、“是”字、“相当于”后面的数、分数(指的是分率,分数后面没有数量单位)的前面的数等,它们也叫做单位“1”。如男同学占全班人数的2/3,全班人数就是总数;甲数是乙数的4/5,乙数是总数;平时按照这些特征归类成总数应用题,它的一般解答方法是:单位“1”知道的用乘法,单位“1”不知道的用除法,前提是单位“1”×对应的分率,所得的结果是分率所对应的数,除的时候要对应的数量÷对应的分率,所得的结果是单位“1”所对应的数。例,甲数是乙数的2/3,甲数是20,乙数是多少?乙数是单位“1”,它不知道,所以用除法,甲数是20,它所对应的分率是2/3,计算可为20÷2/3。

2、“比”字应用题

“比”字应用题是指:一个数(简称甲数)比另一个数(简称乙数)多(或少)几分之几的类型题。如甲数比乙数多1/5,乙数是20,求甲数。同样先找单位“1”,它的单位“1”都是在“比”字的后面,如上题乙数是单位“1”。“比”应用题的解题方法是:一个数(已知)×或÷(1+或-几/几),意思就是说,单位“1”知道的用乘法,单位“1”不知道的用除法,括号里面列式可为,比多的是1+几/几,比少的是1-几/几。

例:人教版十一册38页上的例5,小明的体重是35kg,他的体重比爸爸的体重轻8/15,小明爸爸的体重是多少千克?这题中爸爸的体重就是单位“1”,现在不知道,所以用除法,列式是35÷(1-8/15),又如上面提到的甲数和乙数,计算为20×(1+1/5)。

3、比较量÷标准量

此题的特征是:已知一个数和另一个数,求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。如:甲数是5,乙数是4,求甲数是乙数的几分之几?这里的字眼是“是”字,“是”字的前面是比较量(作被除数),后面是标准量(作除数),列式为比较量÷标准量,这题正确列式就是5÷4;还有一种题型是甲数是5,乙数是4,求甲数比乙数多几分之几?这里的字眼是“比”字,比较量为甲数比乙数多的部分,“比”字后面乙数是标准量,解题方法为:(甲数-乙数)÷乙数,上题可列式为(5-4)÷4。

4、两个未知数

人教版十一册41页例6:我们班全场得了42分,下半场得分只有上半场的一半,上半场和下半场各得多少分?

这题的特征是只懂得总数,上半场和下半场都是未知数。做这种题型的关键是先找出全题的数量关系式,作为总列式的依据,上题就可以列为 上半场+下半场=42分,然后找出上、下半场中谁作为单位“1”设为X,同样的道理分率的前面(上面的红字),绿色部分上半场为单位“1”,所以此题上半场得分设为X,

则下半场为1/2X,全题列式:X+1/2X=42

5、按比例分配

有这样的一条题目:一个长方形的周长是40厘米,长和宽的比为3:2,长 和宽各是多少厘米?很多学生往往都会做成这样40×3/(3+2)=24(厘米),40×2/(3+2)=16(厘米),很显然这是错误的解题。原因就是把总数看成了周长。我平时的教学是先根据比求出总份数,第二步找出这个比相对应的总数,因此要让学生牢记这句话——谁和谁的比,相对应的总数就是谁和谁的和,这题的比是长和宽的比,相对应的总数只能是长和宽的和,而不是周长,第三步再用总数×相对应的份比=相对应的部分数。那么这题可列式为:1、3+2=5,2、40÷2=20(厘米),3、20×3/5=12(厘米),20×2/5=8(厘米)。

小学阶段数学的学习,应用题的种类很多,细分的话可分40来种,如工程问题、归一问题、行程问题、鸡兔同笼、和差问题、几何形体等等(在以后的论文里再叙)。我这里罗列的只是在平常的学习中经常会用到,学生做起来又感到比较困惑的。像这5种类型的应用题,解题的方法也多样化,如何让学生在解题中行之有效呢?在平常的教学中,让学生牢记类型的特征,自主归类,形成解题步骤,久而久之,学生在大脑中就会自然而然的形成应用题的分类,在解答应用题的时候,就会有“形”而依,得心应手,从而达到学习的事半功倍。所以“分”就成为解答应用题的重要组成部分。

三、 解

解,指的是学生解答。或许学生认为这一部分他们是最拿得出手的。学生解 题的最终结果就是把计算完整的写下来,让老师批改。同样这个也需要锻炼。学生需要把刚才读题思考、分类形成解答的方法的过程用数字的形式表示出来。所写的式子,要让别人看了也完全明白你的思路,这样才是一个成功的式子。应用题写的时候要注意:如果是方程,学生的解设就是不可或缺的,所列的方程未知数后面并不需要有单位名称,如果是一般的列式,计算结果单位名称要写上去,求分率、比率是没有单位名称的。最后是写上完整的答句。

综上所述,要完成每一道应用题,每一部分都是不可忽略的,而要做到以上步骤的前提是掌握数学的基础知识和各种基本计算法则,这要靠平时的积累巩固,需要教师在日常的教学中不断训练与督导,每每讲完一条应用题后,引导学生进行反思,对该类型题进行再分析,形成分类归纳,举一反三,融会贯通。

总之,应用题的教学,让学生形成读、分、解的步骤,只要学生做到“功夫”深,让学生的思路清析,解题方法也就越丰富灵活,可以让学生做到一题多解,做到活学活用,也只有这样才能满足于学生的求知欲,使其在数学上得到更好的发展。

参考文献:

《教师教学用书》数学六年级上册 2014年 人民教育出版社

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