初中数学相似三角形解题方法

发布时间:2016-12-20 来源: 数学 点击:

篇一:相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析

贵有恒何必三更眠五更起,最无益只怕一日曝十日寒。

一、相似、全等的关系

全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面,全等形是相似比为1的特殊相似形,相似形则是全等形的推广.因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别;相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础.

二、两个三角形相似的六种图形:只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形,并能根据问题需要添加适当的辅助线,构造出基本图形,从而使问题得以解决

三、三角形相似的证题思路:判定两个三角形相似思路:

1)先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线),因为这个条件最简单;

2)再而先找一对内角对应相等,且看夹角的两边是否对应成比例;

3)若无对应角相等,则只考虑三组对应边是否成比例;

1、已知一对等角①找另一角,两角对应相等,两三角形相似; ②找夹边对应成比例,两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似

2、已知两边对应成比例①找夹角相等,两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;

③找第三边也对应成比例,三边对应成比例,两三角形相似

3、已知可能的一个直角三角形①找一个直角,斜边、直角边对应成比例,两个直角三角形相似;

②找另一角,两角对应相等,两三角形相似 ③ 找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4

4、与等腰三角形有关的①找顶角对应相等判定定理1

②找底角对应相等判定定理1 ③找底和腰对应成比例 判定定理3

5、相似形的传递性 若△1∽△2,△2∽△3,则△1∽△3

四、“三点定形法”,即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是:先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了,这叫做“横定”;若不能,再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,则只要证明这两个三角形相似就行了,这叫做“竖定”。有些学生在寻找条件遇到困难时,往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞,乱添辅助线,这样反而使问题复杂化,效果并不好,应当运用基本规律去解决问题。

例1、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:(判断“横定”还是“竖定”? )

例2、如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F,AC·AE=AF·AB吗?说明理由。 分析方法:1)先将积式______________ 2)______________( “横定”还是“竖定”? )

02例3、 已知:如图,△ABC中,∠ACB=90,AB的垂直平分线交AB于D,交BC延长线于F。求证:CD=DE·DF。 分析方法: 1)先将积式______________ 2)______________( “横定”还是“竖定”? )

五、过渡法(或叫代换法)

有些习题无论如何也构造不出相似三角形,这就要考虑灵活地运用“过渡”,其主要类型有三种,下面分情况说明.

(一)、 等量过渡法(等线段代换法):遇到三点定形法无法解决欲证的问题时,即如果线段比例式中的四条线段都在 图形中的同一条直线上,不能组成三角形,或四条线段虽然组成两个三角形,但这两个三角形并不相似,那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段,如果没有,可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当,问题往往可以得到解决。当然,还要注意最后将代换的线段再代换回来。

例4:如图3,△ABC中,AD平分∠BAC, AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E.求证:DE2=BE·CE.

(二)、 等比过渡法(等比代换法):当用三点定形法不能确定三角形,同时也无等线段代换时,可以考虑用等比代换法,即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥,也就是通过对已知条件或图形的深入分析,找到与求证的结论中某个比相等的比,并进行代换,然后再用三点定形法来确定三角形。

例5:如图4,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E是AC的中点,ED交AB的延长线于点F.求证:.

(三)、等积过渡法(等积代换法):思考问题的基本途径是:用三点定形法确定两个三角形,然后通过三角形相似推出线段成比例;若三点定形法不能确定两个相似三角形,则考虑用等量(线段)代换,或用等比代换,然后再用三点定形法确定相似三角形,若以上三种方法行不通时,则考虑用等积代换法。

例6:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,G是DC延长线上一点,过B作BE⊥AG,垂足为E,交CD

2于点F. 求证:CD=DF·DG. 小结:证明等积式思路口诀:“遇等积,化比例:横找竖找定相似;不相似,不用

急:等线等比来代替。”

六、证比例式和等积式的方法:

对线段比例式或等积式的证明:常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等.若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时,应将线段比“转移”(必要时需添辅助线),使其分别构成两个相似三角形来证明.可用口诀: 遇等积,改等比,横看竖看找关系; 三点定形用相似,三点共线取平截;平行线,转比例,等线等比来代替; 两端各自找联系,可用射影和园幂.

例7、 如图,在△ABC中,AD、BE分别是BC、AC边上的高,DF⊥AB于F,交AC的延长线于H,交BE于G,求证:(1)FG / FA=FB / FH(2)FD是FG与FH的比例中项. 1说明:证明线段成比例或等积式,通常是借证三角形相似.找相似三角形用三点定形法(在比例式中,或横着找三点,或竖着找三点),若不能找到相似三角形,应考虑将比例式变形,找等积式代换,或直接找等比代换

例8、 如图6,□ABCD中,E是BC上的一点,AE交BD于点F,已知BE:EC=3:1, S△FBE=18,求:(1)BF:FD(2)S△FDA (说明:线段BF、FD三点共线应用平截比定理.由平行四边形得出两线段平行且相等,再由“平截比定理”得到对应线段 成比例、三角形相似;由比例合比性质转化为所求线段的比;由面积比等于相似比的平方,求出三角形的面积.)

例9如图7在△ABC中,AD是BC边上的中线,M是AD的中点,CM的延长线交AB于N.求:AN:AB的值;(求比例式的值,可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线,找等比过渡.当已知条件中的比例关系不够用时,还应添作平行线,再找中间比过渡.)

2例10、如图8在矩形ABCD中,E是CD的中点,BE⊥AC交AC于F,过F作FG∥AB交AE于G.求证:AG=AF×FC 4说明:证明线段的等积式,可先转化为比例式,再用等线段替换法,然后利用“三点定形法”确定要证明的两个三角形相似.

例11、 如图在△ABC中,D是BC边的中点,且AD=AC,DE⊥BC,交AB于点E,EC交AD于点F.(1)求证:△ABC∽△FCD;(2)若S△FCD=5,BC=10,求DE的长.(说明:要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似.再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长)。

例12 如图10过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E.过点D作DM∥FC交AB于点M.(1)若S△AEF:S四边形MDEF=2:3,求AE:ED; (2)求证:AE×FB=2AF×ED(说明:由平行线推出两个三角形相似,再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到两线段的比.注意平截比定理的应用.)

例13、 己知如图11在正方形ABCD的边长为1,P是CD边的中点,Q在线段BC上,当BQ为何值时,△ADP与△QCP相似?(说明:两个三角形相似,必须注意其顶点的对应关系.然后再确定顶点P所在的位置.本题是开放性题型,有多个位置,应注意计算,严防漏解.)

七、确定证明的切入点。几何证明题的证明方法主要有三个方面。第一,从“已知”入手,通过推理论证,得出“求证”;第二,从“求证”入手,通过分析,不断寻求“证据”的支撑,一直追溯回到“已知”;第三,从“已知”及“求证”两方面入手,通过分析找到中间“桥梁”,使之成为清晰的思维过程。

例14、 如图,△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD=AE,DE延长线与BC延长线相交于F,求证:

八、相似三角形中的辅助线

在添加辅助线时,所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形,或得到成比例的线段或得出等角,等边,从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种:

一)、作平行线

例15、如图,△ABC中,AB<A

初中数学相似三角形解题方法

C,在AB、AC上分别截取BD=CE,DE,BC的延长线相交于点F,证明:AB·DF=AC·EF。

例16、如图,B为AC的中点,E为BD的中点,则AF:AE=___________.

例17、如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,E为AB延长线上一点,OE交BC于F,若AB=a,BC=b,BE=c,求BF的长.

例18、△ABC中,在AC上截取AD,在CB延长线上截取BE,使AD=BE,求证:DF·AC=BC·FE

例19:如图△ABC中,AD为中线,CF为任一直线,CF交AD于E,交AB于F,求证:AE:ED=2AF:FB。

二)、作延长线

例20. 如图,Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高,E为CD的中点,AE的延长线交BC于F,FG⊥AB于G,求证:FG2=CF·BF

例21.如图4,已知平行四边ABCD中,E是AB的中 点,

,连E、F交AC于G.求AG:AC的值.

三)、作中线

2例22: 已知:如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D.求证: BC=2CD·AC.

篇二:初中数学相似三角形例题解析

相似三角形例题解析

编辑:启慧

为了帮助同学们复习,天之骄学习研究部的老师参考多种学习资料精心选编了这套相似三角形总结专题,供同学们查漏补缺。若有疑问,请速与我们联系。

相似三角形是初中几何的重要内容,包括相似三角形的性质、判定定理及其应用,是中考必考内容,以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型,所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要,本讲就如何判定三角形相似,以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。 一、如何证明三角形相似

例1、如图:点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F,则△AGD∽△ ∽△。

分析:关键在找“角相等”,除已知条件中已

A

明确给出的以外,还应结合具体的图形,利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2,所以

B

D

FE

GC

△AGD∽△EGC。再∠1=∠2(对顶角),由AB∥DG可得∠4=∠G,所以△EGC∽△EAB。

评注:(1)证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。(2)找到两个三角形中有两对角对应相等,便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。

例2、已知△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是角平分线, 求证:△ABC∽△BCD

分析:证明相似三角形应先找相等的角,显然∠C是公共角,而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计

D京翰教育/

BC

算也是一种常用的方法。

证明:∵∠A=36°,△ABC是等腰三角形,∴∠ABC=∠C=72° 又BD平分∠ABC,则∠DBC=36°

在△ABC和△BCD中,∠C为公共角,∠A=∠DBC=36° ∴△ABC∽△BCD

例3:已知,如图,D为△ABC内一点连结ED、AD,以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD,

∠BCE=∠BAD

求证:△DBE∽△

ABC

分析: 由已知条件∠ABD=∠CBE,∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC,要证的△DBE和△ABC,

有一对角相等,要证两个三角形相似,或者再找一对角相等,或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△CBE∽△ABD,这样既有相等的角,又有成比例的线段,问题就可以得到解决。

证明:在△CBE和△ABD中,

∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD

∴△CBE∽△ABD

京翰教育/

BCBE

= ABBDBCAB

= BEBD

即:

在△DBE和△ABC中

∠CBE=∠ABD, ∠DBC公用

∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC

∴∠DBE=∠ABC

BCAB

= BEBD

∴△DBE∽△ABC

例4、矩形ABCD中,BC=3AB,E、F,是BC边的三等分点,连结AE、AF、AC,问图中是否存在非全等的相似三角形?请证明

A

D

你的结论。

分析:本题要找出相似三角形,那么如何寻找

B

相似三角形呢?下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形:

(1) 如图:称为“平行线型”的相似三角形

EF

C

京翰教育/

C

B

C

E

(2)如图:其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。

A

E

1

B

DC

2B

A

4

D

E

DC

A

B

CE

(3)如图:∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形。 观察本题的图形,如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形,及△EAF与△ECA

解:设AB=a,则BE=EF=FC=3a, 由勾股定理可求得AE=2a, 在△EAF与△ECA中,∠AEF为公共角,且

AEEC

??2 EFAE

A

D

E

B

C

所以△EAF∽△ECA(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)

注:以上两例中都用了相似三角形的判定定理2,该定理的灵活应用是教学上的难点所在,应注重加强训练。

二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式

京翰教育

/

例1、△ABC中,在AC上截取AD,在CB延长线上截取BE,使AD=BE,求证:DF?AC=BC?FE

分析:证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF:FE=BC:AC,再利用相似三角形或平行线的性质进行证明:

证明:过D点作DK∥AB,交BC于K, ∵DK∥AB,∴DF:FE=BK:BE

又∵AD=BE,∴DF:FE=BK:AD,而BK:AD=BC:AC 即DF:FE= BC:AC,∴DF?AC=BC?FE

例2:已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90,M是BC的中点,DM⊥BC于点E,交BA的

延长线于点D。

A

D

F

E

B

K

C

AE2ME

?求证:(1)MA=MD?ME;(2) 2

MDAD

2

证明:(1)∵∠BAC=90,M是BC的中点,

∴MA=MC,∠1=∠C,

D

∵DM⊥BC, ∴∠C=∠D=90-∠B, ∴∠1=∠D, ∵∠2=∠2, ∴△MAE∽△MDA,

京翰教育/

A

B

M

C

E

篇三:初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)

经典练习题

相似三角形(附答案)

一.解答题(共30小题)

1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.

2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.

(1)求证:△CDF∽△BGF;

(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.

3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.

求证:△ABC∽△FDE.

4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.

5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.

(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;

(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;

(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.

6.如图,E是?ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.

7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.

(1)填空:∠ABC= _________ °,BC= _________ ;

(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.

8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:

(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?

(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.

9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.

(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)

(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.

10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.

(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;

(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;

(3)求△BEC与△BEA的面积之比.

11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.

(1)求四边形AQMP的周长;

(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);

(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.

12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.

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