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发布时间:2017-01-11 来源: 高中数学 点击:

篇一:高中数学复习资料大全

高中数学 第三章 数列

考试内容: 数列.

等差数列及其通项公式.等差数列前n项和公式. 等比数列及其通项公式.等比数列前n项和公式. 考试要求:

(1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.

(2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题.

(3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,井能解决简单的实际问题.

03. 数 列 知识要点

?看数列是不是等差数列有以下三种方法: ①an?an?1?d(n?2,d为常数) ②2an?an?1?an?1(n?2)

③an?kn?b(n,k为常数).

?看数列是不是等比数列有以下四种方法: ①an?an?1q(n?2,q为常数,且?0)

2②an?an?1?an?1(n?2,anan?1an?1?0)

注①:i. b?ac,是a、b、c成等比的双非条件,即b?acii. b?ac(ac>0)→为a、b、c等比数列的充分不必要. iii. b??ac→为a、b、c等比数列的必要不充分. iv. b??ac且ac?0→为a、b、c等比数列的充要.

、b、c等比数列.

注意:任意两数a、c不一定有等比中项,除非有ac>0,则等比中项一定有两个. ③an?cqn(c,q为非零常数).

④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}(x?1)成等比数列.

?s1?a1(n?1)?数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系:an??

s?s(n?2)n?1?n

[注]: ①an?a1??n?1?d?nd??a1?d?(d可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等差数列)→若d不为0,则是等差数列充分条件). d?d?d??

②等差{an}前n项和Sn?An2?Bn???n2??a1??n →可以为零也可不为零→为等差

2?2?2??的充要条件→若d为零,则是等差数列的充分条件;若d不为零,则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) ..2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列,其公差为原公差的k2倍Sk,S2k?Sk,S3k?S2k...; ②若等差数列的项数为2nn?N

?

?

?,则S偶?S奇?ndS?

S奇

?

an

an?1;

S偶

?n n?1

③若等差数列的项数为2n?1n?N?,则S2n?1??2n?1?an,且S奇?S偶?an,S奇 ?代入n到2n?1得到所求项数. 3. 常用公式:①1+2+3 ?+n =②12?22?32??n2?

n?n?1? 2

?

n?n?1??2n?1?

6

2

?n?n?1??

③13?23?33?n3??? 2??

[注]:熟悉常用通项:9,99,999,…?an?10n?1; 5,55,555,…?an?

5n

10?1. 9

??

4. 等比数列的前n项和公式的常见应用题:

?生产部门中有增长率的总产量问题. 例如,第一年产量为a,年增长率为r,则每年的产量成等比数列,公比为1?r. 其中第n年产量为a(1?r)n?1,且过n年后总产量为:

2

n?1

a?a(1?r)?a(1?r)?...?a(1?r)

a[a?(1?r)n]?.

1?(1?r)

?银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存a元,利息为r,每月利息按复利计算,则每月的a元过n个月后便成为a(1?r)n元. 因此,第二年年初可存款:

12

11

10

a(1?r)?a(1?r)?a(1?r)

a(1?r)[1?(1?r)12]

. ?...?a(1?r)=

1?(1?r)

?分期付款应用题:a为分期付款方式贷款为a元;m为m个月将款全部付清;r为年利率.

a?1?r??x?1?r?

m

m?1

?x?1?r?

m?2

?......x?1?r??x?a?1?r?

m

x?1?r?m?1ar?1?r?m??x? mr?1?r??1

5. 数列常见的几种形式:

?an?2?pan?1?qan(p、q为二阶常数)?用特证根方法求解.

具体步骤:①写出特征方程x2?Px?q(x2对应an?2,x对应an?1),并设二根x1,x2②若x1?x2

nn可设an.?c1xn1?c2x2,若x1?x2可设an?(c1?c2n)x1;③由初始值a1,a2确定c1,c2.

?an?Pan?1?r(P、r为常数)?用①转化等差,等比数列;②逐项选代;③消去常数n转化为an?2?Pan?1?qan的形式,再用特征根方法求an;④an?c1?c2Pn?1(公式法),c1,c2由a1,a2确定.

①转化等差,等比:an?1?x?P(an?x)?an?1?Pan?Px?x?x?②选代法:an?Pan?1?r?P(Pan?2?r)?r???an?(a1??Pn?1a1?Pn?2?r???Pr?r.

r

. P?1

rr)Pn?1??(a1?x)Pn?1?x P?1P?1

③用特征方程求解:

an?1?Pan?r?

(P?1)an?Pan?1. ?an?1?an?Pan?Pan?1?an?1??相减,

an?Pan?1?r?

④由选代法推导结果:c1?

rrrr

. ,c2?a1?,an?c2Pn?1?c1?(a1?)Pn?1?

1?PP?1P?11?P

6. 几种常见的数列的思想方法:

?等差数列的前n项和为Sn,在d?0时,有最大值. 如何确定使Sn取最大值时的n值,有两种方法:

一是求使an?0,an?1?0,成立的n值;二是由Sn?的值.

d2d

n?(a1?)n利用二次函数的性质求n22

?如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前n项和可依111照等比数列前n项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如:1?,3,...(2n?1)n,...

242

?两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第

一个相同项,公差是两个数列公差d1,d2的最小公倍数.

2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an?an?1(

an

)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证an?1

2

2an?1?an?an?2(an?1?anan?2)n?N都成立。

3. 在等差数列{an}中,有关Sn 的最值问题:(1)当a1>0,d<0时,满足?

?am?0

的项数m

?am?1?0

使得sm取最大值. (2)当a1<0,d>0时,满足?

?am?0

的项数m使得sm取最小值。在解含绝

?am?1?0

对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 (三)、数列求和的常用方法

1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于?

?

c?

?其中{ an}是各项不为0的等差数列,c为常数;部

?anan?1?

分无理数列、含阶乘的数列等。

3.错位相减法:适用于?anbn?其中{ an}是等差数列,?bn?是各项不为0的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论

1): 1+2+3+...+n =

n(n?1)

2

2

2) 1+3+5+...+(2n-1) =n

?1?

3)13?23???n3??n(n?1)?

?2?

4) 1?2?3???n?

2

2

2

2

2

1

n(n?1)(2n?1) 6

5)

1111111

???(?)

n(n?1)nn?1n(n?2)2nn?21111?(?)(p?q) pqq?ppq

6)

篇二:高中数学竞赛资料收集

目 录

书目34及时间安排 ........................................................................................................................ 1

1.必读书目............................................................................................................................. 1

2.时间安排............................................................................................................................. 2

柳智宇 我在数学竞赛学习中的一些经验 ..................................................................................... 3

杨默涵 数学竞赛经验 .................................................................................................................... 7

数学教师暑假阅读参考书目......................................................................................................... 10

教练感言 ........................................................................................................................................ 13

熊斌教授................................................................................................................................. 13

选手历程 ........................................................................................................................................ 16

何斯迈 第33 届IMO金牌.................................................................................................... 16

罗 炜 第32/33 届IMO金牌 ............................................................................................. 16

王 烜 第44届IMO金牌..................................................................................................... 16

方家聪 第44届IMO金牌..................................................................................................... 16

张 敏 第51届IMO金牌..................................................................................................... 18

肖伊康 第51届IMO金牌..................................................................................................... 19

赖 力 第51届IMO金牌..................................................................................................... 19

I

书目34及时间安排

1.必读书目

开始阶段(专题):20

*《几何变换与几何证题》(萧政纲)

《近代欧氏几何学》(R.A.Johnson)单墫译 通俗数学名著译丛

《平面几何中的小花》(单墫)

*《组合几何》(单墫)

*《几何不等式》(单墫的同名著作,早先的一本是八十年代上海教育出版社所出的,在九十年代初他又译了荷兰几何学家O.Bottema的一本书,这是一本字典式的书,是专门收集几何不等式方面的内容,其中证明的内容并不多;美国新数学丛书,几何不等式,N.D.卡扎里诺夫)

*《柯西不等式与排序不等式》(南山)

*《函数方程》

*《怎样证明三角恒等式》朱尧辰

*《抽屉原则与涂色问题》(周士潘等)

*《覆盖》(单墫)

*《集合及其子集》(单墫)

《趣味的图论问题》(单墫)

*《数学竞赛中的图论方法》

*《初等数论》(三册)陈景润

《数论妙趣》(通俗数学名著译丛)

*《基础数论典型题解300例》(王元等)

*《计数》

*《组合数学理论与题解》

《组合计数方法及其应用》

《组合分析的原理 方法 技巧》

复习阶段(综合,针对思想方法):6

*《从特殊性看问题》(苏淳)

《组合恒等式》(史济怀)

《解析几何的技巧》(单墫)

*《算两次》(单墫)

*《构造法解题》(余红兵 严镇军)

*《漫话数学归纳法》(苏淳)

上面那些书(基本都是数学家写的)应该要学完(特别是打*的)。虽然有点多,但这些书实在太好了,把很多问题都讲得很透彻。

然后,该看些竞赛书了,当然,这个时候看起来会很轻松的。1

1

《第一届数学奥林匹克国家集训队资料》是一本很好的资料。

再推荐一些非常有用的课外读物:7

《通俗数学名著译丛 数学游戏与欣赏》(鲍尔)

《通俗数学名著译丛 数学娱乐问题》(J·A·H·亨特 J·S·玛达其) 《通俗数学名著译丛 圆锥曲线的几何性质》(科克肖特 沃尔特斯) 《圆与球》(W·伯拉须凯)

《棋盘上的组合数学》(冯跃峰)

《几何》(笛卡尔)

《几何的有名定理》(矢野健太郎)

对于竞赛教练,我认为以上所有的书都应该熟读,这样一个直接的好处就是了解题目的背景。当然,数学水平也会上升一个档次。

2.时间安排

要在高一开学之前的那个暑假里把整个高中的数学内容全部学完,在高一上学期应该完成像高三一样的两轮复习,基础很重要,1试占了150分,不可小视。 然后就是竞赛内容了,不要以为看几本竞赛书就可以了,因为那些书上讲得太粗略了。这时候,对老师就要求很高了。老师不但要对竞赛内容非常熟悉,还要不断总结重要的思想方法,使学生能够灵活运用。

对于参加竞赛的,也提出了极高的要求,要在短时间内学完这么多书。如果时间安排得好的话,看完了这些书(或者已经基本看完了),联赛也马上就开始了,这时是高二开学后1个月左右(有些省设了初赛,可能还要早些)。即使考得不理想,我想拿个二等问题不大,不必灰心,更不必太悲观,因为还有高三一次机会,还有足足一年的时间精心准备,等到一年之后,收获之时到矣。

2

柳智宇 我在数学竞赛学习中的一些经验

第一,只是个人想法,还很不成熟.

第二,某些说法也许不好理解,但所谓学习方法本来就是只能大致说说的.我希望对数学有自己的思考的同学看了这些文字之后能受到一些启发.

数学竞赛经验谈

柳智宇(华中师大一附中,第47届国际数学奥赛金牌)

一、 几何

1. 平面几何

①基本欧氏几何知识结构

基本的辅助线,点,圆,相似形的应用

推荐:《奥数教程-初三》各地中考题及模拟题

②对几何结构的把握,对称性,各种近代欧氏几何框架,几何变换。 推荐:《近代欧氏几何学》,建议使用软件几何画板并参与与之相关的网上讨论。缺少一本习题集,可使用《几何变换》及叶中豪的习题。《数学竞赛中的平面几何问题》(一本俄罗斯的书,此书组合几何部分也很好)中几何变换及反演射影几何。

【《中学数学奥林匹克平面几何问题及其解答》(俄)波拉索洛夫着_周春荔等译;2009年《俄罗斯平面几何问题集》第6版】

2. 解析几何

①基本知识:已知与未知的互化,元的设置,设计计算路线。

②每一步计算的几何意义,计算中的对称性,代数结构。

以下基本观点:

几何中关系到达一定的复杂度后,代数的使用是自然而且必须的。不应一味地强调使用解析法盲目运算(解析法能解决问题,但不能很好地揭示问题的内部结构),也不应一味地强调使用纯平几。这两者都易忽略问题的实质,一切以自然为上。

我们熟知的几何计算方法大体有:

①欧氏几何公理中直接使用未知量计算

②解析法

③复数法

④向量法

⑤利用定理AC⊥BD AB2+CD2=AD2+BC2

⑥三角法

但实际上每道题都有自己的结构,也有一套独特的最简洁的代数表示,它是一题一法。以上六种方法的使用也是因题而异,使用的过程中有诸多技巧,绝不可盲目计算。

推荐:《解析几何的方法与技巧》《圆锥曲线的几何性质》《三角与几何》

【解析几何的技巧,单墫,数学奥林匹克辅导丛书;《数学奥林匹克小丛书 高中卷 三角与几何》田廷彦;:(苏)别列尔基娜(А.Н.Перепелкина),《几何与三角》;】

3

3. 立体几何

推荐:《数学竞赛研究教程》中立体几何部分

《奥数教程》系列中向量部分。

《几何不等式》

二、 代数

基本观点:元的理解和使用(代数变形),注意对称。

1. 多项式:理解“不定元”

三个基本视角:系数,根,值

推荐:《奥数教程》高三【单墫】

2. 函数方程:注意函数的定义;一种二元关系。

方法:逐层递推,巧妙代元。

0,1,零点,不动点,单射,满射,单调,奇偶??

推荐:《题典.代数卷》

【《世界数学奥林匹克解题大辞典-代数卷》】

3. 不等式:另见笔记

较易的不等式可以组合成较复杂的不等式。

推荐:《小丛书》两本,《湖南.代数卷》

【《初等数学小丛书系列 几何不等式》单墫;《初等数学小丛书系列 柯西不等式与排序不等式》南山;《奥赛经典.代数卷》湖南师大出版社】

三、 数论

注意整个理论体系,数论的体系性很强,同时基本理论中也包括了最基本的思想方法。任何一道数论题也都有相应的一串问题及明显的背景。但掌握体系必须符合人正常的思维规律。体系是从大量事实中抽象出来的,应先让学习者纯凭直觉做一些数论题,在适当的时候引导他自己发现更基本的规律,或给他点明不必强行追求 “返璞归真”高级的理论自然是有用才会提出,如果它能揭示问题的本质就可大胆使用,而且应该使用。 不定方程是竞赛的重点,注意代数变形在数论中的应用。

推荐:《初等数论》《数论讲义》

【《初等数论》陈景润;《数论讲义》,柯召】

四、 组合

组合无体系,是纯直觉的。

推荐:《华南师大附中习题集》,环球城市竞赛题,俄罗斯赛题,《组合卷》(题典,湖南)

【环球城市数学竞赛(International Mathematics Tournament of the Towns);莫斯科数学竞赛;《奥赛经典.组合》湖南师大出版社】

? 书目评论:

4

篇三:最新高中数学复习资料

一、集合

x?y?2{1.方程组x?y?0的解构成的集合是 ()

D.{1} A.{(1,1)}B.{1,1} C.(1,1)

2.已知集合A={a,b,c},下列可以作为集合A的子集的是 ()

A. a B. {a,c} C. {a,e} D.{a,b,c,d}

3.下列图形中,表示M?N的是 ()

A B C D M N N M M N M N

4.下列表述正确的是 ()

A.??{0} B. ??{0} C. ??{0} D. ??{0}

5、设集合A={x|x参加自由泳的运动员},B={x|x参加蛙泳的运动员},对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为()

A.A∩B B.A?B C.A∪B D.A?B

6.集合A={xx?2k,k?Z} ,B={xx?2k?1,k?Z} ,C={xx?4k?1,k?Z}

又a?A,b?B,则有()

A.(a+b)? AB. (a+b) ?BC.(a+b) ? C D. (a+b) ? A、B、C任一个

7.集合A={1,2,x},集合B={2,4,5},若A?B={1,2,3,4,5},则x=()

A.1 B.3C.4 D.5

8.全集U = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 }, A= {3 ,4 ,5 }, B= {1 ,3 ,6 },那么集合 { 2 ,7 ,8}是 ()

A. A?BB. A?BC. CUA?CUB D. CUA?CUB

9.设集合M?{m?Z|?3?m?2},N?{n?Z|?1≤n≤3},则MN? ( )

A.?01,,,,,,2? ,,2? D.??101? B.??101? C.?01

10.设U?R,A?{x|x?0},B?{x|x?1},则AeUB?()A.{x|0?x?1} B.{x|0?x?1} C.{x|x?0}D.{x|x?1}11.用适当的符号填空:

(1)?{xx2?1?0}; (2){1,2,;

(3){1} {xx2?x}; (4){xx2?2x}.

12.若U?{nn是小于9的正整数},A?{n?Un是奇数},B?{n?Un

是3的倍数},则eU(AB)? .

13.已知集合U?{x|?3?x?3},M?{x|?1?x?1},CUN?{x|0?x?2}那么集合N?,M?(CUN)?,M?N?.

14. 已知集合A?{x?x?7},集合B?{xa?1?x?2a?5},若满足 A?B?{x3?x?7},

求实数a的值.

15. 已知集合A?{x?1?x?3},B?{yx2?y,x?A},C?{yy?2x?a,x?A},若满足

C?B,求实数a的取值范围.

二、函数

1)

1.下列各组函数表示同一函数的是 ( )

A

.f(x)?

,g(x)?2 2B.f(x)?1,g(x)?x0 x2?1C

.f(x)?,g(x)? D.f(x)?x?1,g(x)? x?1

2.函数f(x)?x?1,x???1,1,2?的值域是 ( )

A 0,2,3 B 0?y?3 C {0,2,3} D [0,3]

3.

函数y ( ) A (?,)B [?,]C (??,]?[,??) D (?,0)?(0,??)

4.已知f(x)??13241324123412(x?6)?x?5,则f(3)为 ( ) ?f(x?2)(x?6)

2A 2 B 3 C 4 D 5 5.二次函数y?ax?bx?c中,a?c?0,则函数的零点个数是 ( )

A 0个 B 1个 C 2个 D 无法确定

6.函数f(x)?x2?2(a?1)x?2在区间???,4?上是减少的,则实数a的取值范( )

A a??3B a??3C a?5D a?5

7.

A B D

8.已知函数y?f(x?1)定义域是[?2,3],则y?f(2x?1)的定义域是(

A.[0,5

2]B.[?1,4] C.[?5,5] D.[?3,7]

9.函数f(x)?x2?2(a?1)x?2在区间(??,4]上递减,则实数a的取值范围是(

A.a??3B.a??3 C.a?5 D.a?3

10.函数y?ex?1的定义域为

11.若loga2?m,loga3?n,a2m?n?

12.若函数f(2x?1)?x2?2x,则f(3)

13. 当x?[-1,1]时,函数f(x)=3x-2的值域为

14.求下列函数的定义域:

(1)y=x+1

x+2(2)y=1

6-5x-x

15.对于二次函数y??4x2?8x?3,

(1)指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标;

(2)求函数的最大值或最小值;

(3)分析函数的单调性。

16. 已知f(x)=log a1?x1?x (a>0, 且a≠1)

(1)求f(x)的定义域

(2)求使 f(x)>0的x的取值范围.

2)

1、函数y=log2x+3(x≥1)的值域是 ( )

A.?2,???B.(3,+∞)C.?3,???D.(-∞,+∞)

2、已知f(10x)?x,则f?100?= ( ) ))

A、100 B、10100 C、lg10D、2

3. 函数y?loga(x?2)?1的图象过定点 ( )

A.(1,2) B.(2,1) C.(-2,1)D.(-1,1)

4. 下列函数中,值域为(0,+∞)的函数是( )

A. y?2 1

x ?1?B. y????2?1?x

C. y1

D. y5.已知幂函数的图像经过点(2,32)则它的解析式是6.函数f(x)?1的定义域是. log2(x?2)

7.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ?

则f(3)的值为 x?0?log2(4?x),, ?f(x?1)?f(x?2),x?0 ()

A.-1B. -2 C.1 D. 2

8.

函数y?的定义域为 ( ) A.[?4,1]B.[?4,0)C.(0,1] D.[?4,0)(0,1]

9.

函数y?的定义域为( )

A.(?4,?1)B.(?4,1)C.(?1,1) D.(?1,1]

10.

下列函数中,与函数y? 有相同定义域的是 ()

A .f(x)?lnx B.f(x)?

11.求下列函数的定义域:

(1)1xC. f(x)?|x| D.f(x)?e xf(x)?1 (2)f(x)?log2x?1log2(x?1)?3

1的定义域是. log2(x?2) 12.已知幂函数的图像经过点(2,32)则它的解析式是13.函数f(x)?

14.若f(x)?1?a是奇函数,则a?. x2?1

15. 函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=______

第一套

一、选择题:(每小题5分,共60分,请将所选答案填在括号内)

1.已知集合M??{4,7,8},且M中至多有一个偶数,则这样的集合共有( )

(A)3个(B) 4个 (C) 5个 (D) 6个

2.已知S={x|x=2n,n∈Z}, T={x|x=4k±1,k∈Z},则 ( )

(A)S??T (B) T??S(C)S≠T (D)S=T

23.已知集合P=y|y??x?2,x?R, Q=?y|y??x?2,x?R?,那么P??Q等( )

(A)(0,2),(1,1)(B){(0,2 ),(1,1)} (C){1,2} (D)?y|y?2?

4.不等式(转 载于:wWw.xLTkwj.cOM 小 龙 文档网:大量高中数学资料网站)ax?ax?4?0的解集为R,则a的取值范围是 ( )

(A)?16?a?0(B)a??16 (C)?16?a?0(D)a?0

5. 已知f(x)=?2?x?5(x?6),则f(3)的值为 ( )

?f(x?4)(x?6)

(A)2 (B)5 (C)4 ( D)3

6.函数y?x2?4x?3,x?[0,3]的值域为( )

(A)[0,3] (B)[-1,0] (C)[-1,3] (D)[0,2]

7.函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则 ( ) (A)k>1111 (B)k<(C)k>? (D).k<? 2222

28.若函数f(x)=x+2(a-1)x+2在区间(??,4]内递减,那么实数a的取值范围为( )

(A)a≤-3 (B)a≥-3(C)a≤5 (D)a≥3

9.函数y?(2a?3a?2)a是指数函数,则a的取值范围是( )

(A) a?0,a?1 (B) a?1(C) a?1( D) a?1或a?1 10.已知函数f(x)?4?ax?12x的图象恒过定点p,则点p的坐标是( )

(A)( 1,5 ) (B)( 1, 4)(C)( 0,4) (D)( 4,0)

11.

函数y? ( ) (A)[1,+?] (B) ( (C) [3,1] (D) (3,1] 3,??)

abc12.设a,b,c都是正数,且3?4?6,则下列正确的是 ( ) 1122112212(A) 1 (B) C (C) C (D) 2 ?a?b?a?bc?a?bc?a?b

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