高中数学三角函数计算题

发布时间:2017-01-11 来源: 高中数学 点击:

篇一:高中数学三角函数常见习题类型及解法

高中数学三角函数常见习题类型及解法

高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低,位置靠前,重点突出。因此,在复习过程中既要注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注重三角知识的工具性,突出三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用意识。

一、知识整合

1.熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等;熟悉三角变换常用的方法——化弦法,降幂法,角的变换法等;并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明;掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的公式解决一些实际问题.

2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质;熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点,并会用五点画出函数y?Asin(?x??)的图象;理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换研究函数图象的变化.

二、高考考点分析

2004年各地高考中本部分所占分值在17~22分,主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分,我认为有以下几个层次:

第一层次:通过诱导公式和倍角公式的简单运用,解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。

第二层次:三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。

第三层次:充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质,解决较复杂的函数问题。如分段函数值,求复合函数值域等。

三、方法技巧

1.三角函数恒等变形的基本策略。

22(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cosθ+sinθ=tanx·cotx=tan45°等。

222222(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sinx+2cosx=(sinx+cosx)+cosx=1+cosx;配凑

角:α=(α+β)-β,β=???

2-???

2等。

(3)降次与升次。(4)化弦(切)法。

(4)引入辅助角。asinθ+bcosθ=a2?b2sin(θ+?),这里辅助角?所在象限由a、b的符号确定,?角的值由tan?=b确定。 a

2.证明三角等式的思路和方法。

(1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。

(2)证明方

高中数学三角函数计算题

法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。

(2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。

(3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。

四、例题分析

例1.已知tan??2,求(1)cos??sin?22;(2)sin??sin?.cos??2cos?的值. cos??sin?

sin?

cos??sin??1?tan??1?2??3?22; 解:(1)?sin?1?tan?1?2cos??sin?1?cos?

sin2??sin?cos??2cos2?22 (2) sin??sin?cos??2cos?? 22sin??cos?

2sin?sin???222?2?24?2?2. ??sin?2?13?1cos2?1?

说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化。

例2.求函数y?1?sinx?cosx?(sinx?cosx)2的值域。

解:设t?sinx?cosx?πx?)?[,则原函数可化为 4

13y?t2?t?1?(t?)2?

,因为t?[,所以

24

13当t?

ymax?3,当t??时,ymin?,

24

33?。 所以,函数的值域为y?[,4

例3.已知函数f(x)?4sinx?2sin2x?2,x?R。

(1)求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此时x的集合;

(2)证明:函数f(x)的图像关于直线x??

22π对称。 82解:f(x)?4sinx?2sin2x?2?2sinx?2(1?2sinx)

?2sin2x?2cos2x?x?)

(1)所以f(x)的最小正周期T?π,因为x?R, π4

ππ3π?2kπ?,即x?kπ?时,f(x

)最大值为 428

π(2)证明:欲证明函数f(x)的图像关于直线x??对称,只要证明对任意x?R,有8

ππf(??x)?f(??x)成立,

88

ππππ因为f(??x)???x)?]???2x)??2x,

8842

ππππf(??x)???x)?]???2x)??2x, 8842

πππ所以f(??x)?f(??x)成立,从而函数f(x)的图像关于直线x??对称。 888

12例4. 已知函数y=cosx+sinx·cosx+1 (x∈R), 22所以,当2x?

(1)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;

(2)该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?

解:(1)y=11122cosx+sinx·cosx+1= (2cosx-1)+ +(2sinx·cosx)+1 24442

151??5=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+ 4426644

1?5=sin(2x+)+ 264

???=+2kπ,(k∈Z),即 x=+kπ,(k∈Z)。 626

?所以当函数y取最大值时,自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z} 6所以y取最大值时,只需2x+

(2)将函数y=sinx依次进行如下变换:

??,得到函数y=sin(x+)的图像; 66

1?(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+)26(i)把函数y=sinx的图像向左平移

的图像;

(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的1倍(横坐标不变),得到函数2

y=1?sin(2x+)的图像; 26

(iv)把得到的图像向上平移

综上得到y=51?5个单位长度,得到函数y=sin(2x+)+的图像。 426412cosx+sinxcosx+1的图像。 22

说明:本题是2000年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法:一是化成关于sinx,cosx的齐次式,降幂后最终化成y=a2?b2sin (ωx+?)+k的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1)还可以解法如下:当

11cos2x?sinxcosx?tanxcosx=0时,y=1;当cosx≠0时,y=+1=+1 22sinx?cosx1?tan2x

2化简得:2(y-1)tanx-tanx+2y-3=0

37∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3) ≥0,解之得:≤y≤ 44

7?∴ymax=,此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z} 46

xx2x. 例5.已知函数f(x)?sincos?cos333

(Ⅰ)将f(x)写成Asin(?x??)的形式,并求其图象对称中心的横坐标;

(Ⅱ)如果△ABC的三边a、b、c满足b=ac,且边b所对的角为x,试求x的范围及此时函数f(x)的值域. 解:f(x)?1sin2x?(1?cos2x)?1sin2x?cos2x?3?2x??)? 2323232323322

2x?2x?3k?1?)=0即??k?(k?z)得x??33332

3k?1?,k?z 即对称中心的横坐标为2(Ⅰ)由sin(

(Ⅱ)由已知b=ac 2k?z a2?c2?b2a2?c2?ac2ac?ac1cosx????,2ac2ac2ac2

1??2x?5???cosx?1,0?x?,???233339

??5???2x??|?|?|?|,?sin??)?1,3292333

3 即f(x)的值域为(,1?]. 2??sin(2x?3?)?1?,332

综上所述,x?(0,?

3] , f(x)值域为(,1?3] . 2

说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行整合的能力。

例6.在?ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且

(1)求sinB的值;

(2)

若b?a=c,求?ABC的面积。

解:(1)由正弦定理及cosC3a?c?, cosBbcosC3a?ccosC3sinA?sinC??,有, cosBbcosBsinB

即sinBcosC?3sinAcosB?sinCcosB,所以sin(B?C)?3sinAcosB,

又因为A?B?C?π,sin(B?C)?sinA,所以sinA?3sinAcosB,因为sinA?0,所以cosB?1,又0?B?

π,所以sinB??。 33

22(2)在?ABC中,由余弦定理可得a?c?

所以有2ac?32,又a?c, 342a?32,即a2?24,所以?ABC的面积为

3

11S?acsinB?a2sinB? 22

?????2例7.已知向量a?(2cosα ,2sinα),b=(?sinα,cosα),x?a?(t?3)b,

?????y??ka?b,且x?y?0,

(1)求函数k?f(t)的表达式;

,3],求f(t)的最大值与最小值。 (2)若t?[?1

?2???2??解:(1)a?4,b?1,a?b?0,又x?y?0,

??2??????2??222所以x?y?[a?(t?3)b]?(?ka?b)??ka?(t?3)b?[t?k(t?3)]a?b?0, 所以k?13313t?t,即k?f(t)?t3?t; 4444

篇二:高中数学(三角函数)练习题及答案

第一章 三角函数

一、选择题

1.已知 ???为第三象限角,则 A.第一或第二象限 C.第一或第三象限

?

所在的象限是( ). 2

B.第二或第三象限 D.第二或第四象限

2.若sin θcos θ>0,则θ在( ). A.第一、二象限 C.第一、四象限 3.sin

B.第一、三象限 D.第二、四象限

4π5π?4π?costan?-?=( ). 36?3?3 4

B.

A.-

3 4

C.-

3 4

D.

4

4.已知tan θ+A.2

1

=2,则sin θ+cos θ等于( ). tan?

B.2 C.-2D.±2

5.已知sin x+cos x=A.-

3 4

1

(0≤x<π),则tan x的值等于( ). 5

B.-

4 3

C.

3 4

D.

4 3

6.已知sin ??>sin ?,那么下列命题成立的是( ). A.若?,??是第一象限角,则cos ??>cos ? B.若?,??是第二象限角,则tan ??>tan ? C.若?,??是第三象限角,则cos ??>cos ? D.若?,??是第四象限角,则tan ??>tan ? 7.已知集合A={?|?=2kπ±{γ|γ=kπ±

2π2π,k∈Z},B={?|?=4kπ±,k∈Z},C= 33

,k∈Z},则这三个集合之间的关系为( ). 3

A.A?B?CB.B?A?CC.C?A?B

1

8.已知cos(?+?)=1,sin ?=,则sin ??的值是( ).

3

D.B?C?A

1A.

3

1B.-

3

C.

22

3

D.-

22

3

9.在(0,2π)内,使sin x>cos x成立的x取值范围为( ). ?ππ??5π?A.?, ?∪?π, ?

4??42??

?π5π?C.?, ?

44??

?π?

B.?, π?

?4??π??5π3π?D.?, π?∪?,?

442????

10.把函数y=sin x(x∈R)的图象上所有点向左平行移动上所有点的横坐标缩短到原来的

π

个单位长度,再把所得图象3

1

倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( ). 2

?xπ?

B.y=sin? + ?,x∈R

?26?

2π??

D.y=sin?2x + ?,x∈R

3??

π??

A.y=sin?2x - ?,x∈R

3??

π??

C.y=sin?2x + ?,x∈R

3??

二、填空题

π??π

11.函数f(x)=sin2 x+tan x在区间?,?上的最大值是.

3??4

25π

,≤?≤π,则tan ?=. 25

?π?3?π?

13.若sin?+ ??=,则sin? - ??= .

?2?5?2?

π?π?

14.若将函数y=tan??x + ?(ω>0)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=

4?6?

12.已知sin ?=

π??

tan??x + ?的图象重合,则ω的最小值为

6??

15.已知函数f(x)=

11

(sin x+cos x)-|sin x-cos x|,则f(x)的值域是. 22

π??

16.关于函数f(x)=4sin?2x + ?,x∈R,有下列命题:

3??

π??

①函数 y = f(x)的表达式可改写为y = 4cos?2x - ?;

6??

②函数 y = f(x)是以2π为最小正周期的周期函数; ③函数y=f(x)的图象关于点(-

?

,0)对称; 6

?

对称. 6

④函数y=f(x)的图象关于直线x=-其中正确的是______________.

三、解答题

17.求函数f(x)=lgsin x+

18.化简:

2cosx?1的定义域.

-sin(180?+?)+sin(-?)-tan(360?+?)

tan(?+180?)+cos(-?)+cos(180?-?)sin(?+nπ)+sin(?-nπ)(2)(n∈Z).

sin(?+nπ)cos(?-nπ)

(1)

π??

19.求函数y=sin?2x - ?的图象的对称中心和对称轴方程.

6??

20.(1)设函数f(x)=

sinx+a

(0<x<π),如果 a>0,函数f(x)是否存在最大值和最

sinx

小值,如果存在请写出最大(小)值;

(2)已知k<0,求函数y=sin2 x+k(cos x-1)的最小值.

参考答案

一、选择题 1.D

解析:2kπ+π<?<2kπ+2.B

解析:∵ sin θcos θ>0,∴ sin θ,cos θ同号.

当sin θ>0,cos θ>0时,θ在第一象限;当sin θ<0,cos θ<0时,θ在第三象限. 3.A

解析:原式=??sin4.D 解析:tan θ+

3??3

π,k∈Z?kπ+<<kπ+π,k∈Z.

4222

?

?

33π??π??π?

. ???cos???tan?=-43??6??3?

sin?cos?111

=+==2,sin?? cos ?=.

2tan?sin?cos?cos?sin?

(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=2.sin??+cos ?=±2. 5.B

1

sinx+cosx=?

解析:由 ? 5 得25cos2 x-5cos x-12=0.

?sin2x+cos2x=1

解得cos x=

43或-. 55

又 0≤x<π,∴ sin x>0. 若cos x=

41,则sin x+cos x≠,

55

344

,sin x=,∴ tan x=-.

355

∴ cos x=-6.D

解析:若 ?,??是第四象限角,且sin ?>sin ?,如图,利用单位圆中的三角函数线确定?,??的终边,故选D.

(第6题`)

篇三:高中数学三角函数及解三角专题练习

三角函数、解三角形专题练习

一、填空题

17π17π1.cos(-)-sin(-的值是__________ 44

2.已知sinα=2m-5m,cosα=-,且α为第二象限角,则m的值为___________ m+1m+1

π33.已知sin(x+),则sin2x的值等于________________ 45

π4.将函数y=sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数y=sin(x-的图6

象,则φ等于_____________________

5.在△ABC中,角A,B均为锐角,且cosA>sinB,则△ABC的形状是___________

16.△ABC的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为,则其外接圆的半径为________ 3

7.已知函数f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x=π,则a的值为____ 12

1+cos2x+8sin2xπ8.当0<x<f(x)=_______________ 2sin2x

9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,C=75°,a=4,则

b=________.

10.计算:cos10°3sin10°________. 1-cos80°

11.在△ABC中,已知tanA=3tanB,则tan(A-B)的最大值为________,此时角A的

大小为________.

12.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π),x∈R的部分图象,则下

列命题中,正确命题的序号为________.

π①函数f(x)的最小正周期为 2

②函数f(x)的振幅为3; ③函数f(x)的一条对称轴方程为x=7π 12π7π④函数f(x)的单调递增区间为]; 1212

⑤函数的解析式为f(x)3sin(2

x-

2π. 3

二、解答题

ππ13.已知tan(α+=-3,α∈(0,). 42

(1)求tanα的值;

π(2)求sin(2α-的值. 3

14.已知函数f(x)=2sinxcosx+3(2cos2x-1).

π1(1)将函数f(x)化为Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的形式,并画出函数f(x)在区间[-,26

5]上的图象;(2)求函数f(x)的单调减区间. 6

ππ15.已知函数f(x)=2sinxcos(-x)3sin(π+x)cosx+sin(+x)cosx. 22

(1)求函数y=f(x)的最小正周期和最值;

(2)指出y=f(x)图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称.

A+C316.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos. 23

(1)求cosB的值;

????????????(2)若BCBA·BC=2,b=22,求a和c的值.

17.如图所示,甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行,速度为152

海里/小时,在甲船从A岛出发的同时,乙船从A岛正南40海里处的B岛

1出发,朝北偏东θ(tanθ=)的方向作匀速直线航行,速度为105海里/小时. 2

(1)求出发后3小时两船相距多少海里?

(2)求两船出发后多长时间距离最近?最近距离为多少海里?

π318.已知函数f(x)=2cosxsin(x+)-. 32

(1)求函数f(x)的最小正周期T;

(2)若△ABC的三边a,b,c满足b2=ac,且边b所对角为B,试求cosB的取值范围,并确定此时f(B)的最大值.

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