高中数学概念教学研究

发布时间:2017-01-11 来源: 高中数学 点击:

篇一:高中数学新课标下的概念课教学研究

新课标下的高中数学概念教学研究

北京15 中学 石拥军

内容提要:经过分析数学概念、数学命题、数学方法和数学思想的关系可以看到,数学概念是构建数学理论大厦的基石,掌握数学概念需要概括、表述、识别和运用四个阶段。在新课标的教学理念下,结合多年的教学实践

高中数学概念教学研究

,本文提出在高中数学概念教学中应该遵循的原则:在体验数学概念产生的过程中认识概念,在挖掘新概念的内涵与外延的基础上理解概念,在寻找新旧概念之间联系的基础上掌握概念,在运用数学概念解决问题的过程中巩固概念。 主题词 :数学概念 数学认知结构 教学原则

一、 问题的提出

根据学习的认知理论,数学学习的实质是数学认知结构的组织和重新组织。所谓数学认知结构,就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度,结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点,组合成的一个具有内部规律的整体结构。

关于新学习内容的教学。布鲁纳认为,“不论我们选教什么学科,务必使学生理解该学科的基本结构。”因为教给学生学科基本结构“可以使学科更容易理解”;把知识“放进构造的很好的模式里面”更易记忆;学习模式有助于理解遇到的其他类似事物,有助于知识的迁移;强调学科结构能缩小高级知识和初级知识之间的差距。所以,在现代数学教学中,新学习内容一般是以数学知识结构的形式呈现的。数学知识结构是学生数学认知结构发展的客观基础,在数学认知结构的建构过程中起着外界客体的作用,数学认知结构的建构过程就是学生头脑中的数学认知结构不断接受外界数学知识结构的过程。数学知识结构和数学认知结构的关系如下图1

图1 数学知识结构和数学认知结构关系图

内化(主体的主观能动性)

数学知识结构数学认知结构

基本方式:同化和顺应

数学知识结构是数学概念、数学命题按照其内在联系展开的体系以及其中渗透的数学思想和包涵的数学方法相互关联而形成的网络结构。数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式,主要由原始概念和基本概念组成,是数学知识的最基本形式。数学概念间具有逻辑联系性。张奠宙在《数学教育学》中写到:“每一个数学概念从本质上说都是嵌进了一些数学概

念的体系中。它从一些基础数学概念中得来,又为建立别的数学概念作基础。因此,它总是数学概念结构层次中的一个成分,与其它数学概念存在着包含、从属或并列关系。一个数学概念体系,又有一种整体的性质。因此,对于数学概念的理解,从心理学上可解释为要求能将它同化到一个适当的概念结构中去。即不仅需懂得本身的规定,而且要从它与其它数学概念的关系中去理解。” 数学命题描述的是经严格数学推理论证证实了的数学概念之间固有的关系。数学方法是包涵在数学概念和数学命题体系里,人们在数学研究、数学学习和问题解决等数学活动中的步骤、程序和格式。数学思想是渗透在数学概念和数学命题体系贯穿于一类数学方法中的带有普遍性的原则、策略和规律,是对数学概念和数学命题的本质认识,是该类数学方法的概括。

因此,数学方法是数学的“行为规则”,数学概念和数学命题的体系是数学的“躯体”,数学思想是数学的“灵魂”。他们之间的关系如图2

图2 数学概念、数学命题、数学方法和数学思想关系图

渗透

经过分析数学概念、数学命题、数学方法和数学思想的关系可以看到,数学概念是构建数学理论大厦的基石,是导出数学定理和数学法则的逻辑基础,是提高解题能力的前提,是数学学科的灵魂和精髓。数学概念教学是“双基”教学的核心,是数学教学的重要组成部分,必须引起足够重视。

高中数学课程标准指出:教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握,对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终,帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特点,在教学中要注重体现基本概念的来龙去脉,要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程,在初步运用中逐步理解概念的本质。

在教学过程中,由于受应试教育的影响,有些教师重解题、轻概念,造成数学概念与解

题脱节的现象。教师仅仅把数学概念看作一个名词,概念教学就是对概念作解释,只要求学生记忆。这种形式的概念教学就造成学生对数学概念含糊不清,一知半解。学生不能很好地理解和运用概念,严重影响了他们后续知识的学习。如何进行新课标下的数学概念课教学?这是本文要研究解决的问题。

二、掌握数学概念的过程分析

研究表明,数学概念获得有两种主要方式:一种是学生由大量的同类事物的不同例证中,独立发现同类事物的关键特征。这种获得方式,在心理学上称为概念形成;另一种是直接向学生展示定义,利用原有认知结构中有关知识理解新概念。这种获得概念的方式,心理学中称为概念同化。概念形成要求学生由具体事实概括出新概念。这就需要从大量的具体例子出发,利用学生在实际经验中的生动事例,以归纳的方式概括出一类事物的本质属性,初步形成一个新概念。而概念同化要求学生利用旧知识导出新概念,即利用认知结构中的有关概念来学习,这是一种接受学习,是中学生学习数学概念的主要方式。由此表明,不论概念形成还是概念同化,都需要学生在数学思想的指导下运用一定的数学方法对客观事物和现象进行反复观察、对比、分析、综合,进而将它们结合成类,这种结合的产物便是数学概念。 掌握数学概念需要有一个过程。该过程大致可分为四个阶段:

第一阶段,概括。“概念形成主要依赖的是对感性材料的抽象概括,概念同化主要依赖的是对感性经验的抽象概括”。师生一起通过对具体事例或已掌握知识的分析,抽出事物的关键特征,摒弃非关键特征。

第二阶段,表述。对某类具有相同关键特征的事物命名,并使用学生能理解的方式陈述定义。

第三阶段,识别。在给出概念表述之后,教师应该区分学生对知识是理解记忆还是机械记忆,“是根据关键特征掌握概念,还是根据无关特征回答有关概念的问题。”教师可以举出一些与教材中叙述方式类似的新例子或不同于教材中叙述方式的新例子,帮助学生真正理解概念。

第四阶段 ,运用。“已经获得的概念可以在知觉水平上运用,也可以在思维水平上运用。” 在知觉水平上运用是指当遇到这类事物的特例时,能立即把它看作是一类事物的具体例子;在思维水平上运用是指“新的概念或命题被类属于包摄水平较高的原有概念或命题中,或一类已知事物的一个新的不大明显的代表被识别出来(在思维水平上分类)”。数学概念教学不仅要在知觉水平上运用,例如识别不同位置、不同颜色、不同内角的三角形;还要在思维水平上运用,如能够认识到正比例函数是一类一次函数等。在思维水平上运用数学概念是掌握数学概念关键特征的表现,更是培养学生逻辑思维能力的要求。《中学数学方法论》指出,“渗透整体思想,正确形成概念,并正确地运用概念来解释和理解数学内容,不能不成为最基本

的要求之一。培养学生这种能力,就是在培养学生的逻辑思维能力,尽管它是逻辑思维能力中最基本的。”同时又指出,“概念的形成过程渗透了整体思想,在感性基础上运用分析、综合、抽象、概括,并进而得到本质认识的结果,教学中应尽量反映此过程。”

三、数学概念教学的原则

数学概念教学的主要目标之一是使学生通过概念的掌握与应用,最终理解和掌握概念获得过程中运用的数学思想和数学方法,只有当学生在数学思想和数学方法的高度上掌握了数学概念,才能真正地形成数学能力。因此,在高中数学课堂教学中,教师应该做到如下几点:

(一)在体验数学概念产生的过程中认识概念。

数学概念的引入,应从实际出发,创设情景,提出问题。通过与概念有明显联系、直观性强的例子,使学生在对具体问题的体验中感知概念,形成感性认识,通过对一定数量感性材料的观察、分析,提炼出感性材料的本质属性。如在“异面直线”概念的教学中,教师应先展示概念产生的背景,如长方体模型和图形,当学生找出两条既不平行又不相交的直线时,教师告诉学生像这样的两条直线就叫做异面直线,接着提出“什么是异面直线”的问题,让学生相互讨论,尝试叙述,经过反复修改补充后,给出简明、准确、严谨的定义:“我们把不在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线”。 在此基础上,再让学生找出教室或长方体中的异面直线,最后以平面作衬托画出异面直线的图形。学生经过以上过程对异面直线的概念有了明确的认识,同时也经历了概念发生发展过程的体验。

(二)在挖掘新概念的内涵与外延的基础上理解概念

新概念的引入,是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因,很难一步到位,需要分成若干个层次,逐步加深提高。如三角函数的定义,经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程:(1)用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义;(2)用点的坐标表示的锐角三角函数的定义;(3)任意角的三角函数的定义。由此概念衍生出:(1)三角函数的值在各个象限的符号;(2)三角函数线;(3)同角三角函数的基本关系式; (4)三角函数的图象与性质;(5)三角函数的诱导公式等。可见,三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重,是整个三角部分的奠基石,它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用。“磨刀不误砍柴工”,重视概念教学,挖掘概念的内涵与外延,有利于学生理解概念。

(三)在寻找新旧概念之间联系的基础上掌握概念。

数学中有许多概念都有着密切的联系,如平行线段与平行向量,平面角与空间角,方程与不等式,映射与函数等等,在课堂教学中寻找、分析这些概念之间的联系与区别,有利于学生掌握概念的本质。再如,函数概念有两种定义,一种是初中数学从运动变化的观点出发给出的定义,函数的对应关系是将自变量x的每一个取值,与唯一确定的函数值y对应起来;

另一种是高中数学从集合、对应的观点出发给出的定义,函数的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来。从历史上看,初中给出的定义来源于物理公式,而函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,函数可用图象、表格、公式等表示,所以高中用集合与对应的语言来刻画函数,抓住了函数的本质属性,更具有一般性。认真分析两种函数定义,其定义域与值域的含义完全相同,对应关系本质也一样,只不过叙述的出发点不同,所以两种函数的定义,本质是一致的。当然,对于函数概念真正的认识和理解是不容易的,要经历一个多次接触的较长的过程。

(四)在运用数学概念解决问题的过程中巩固概念。

数学概念形成之后,通过具体例子,说明概念的内涵,认识概念的“原型”,引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用,是数学概念教学的一个重要环节,这个环节直接影响学生巩固数学概念,形成解题能力。例如,当我们学习完“向量的坐标”这一概念之后,进行向量的坐标运算,提出问题:已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C 的坐标,试求顶点D的坐标。学生展开充分的讨论,不少学生运用平面解析几何中学过的知识(如两点间的距离公式、斜率、直线方程、中点坐标公式等),结合平行四边形的性质,提出了各种不同的解法,有的学生应用共线向量的概念给出了解法,还有一些学生运用所学过向量坐标的概念,把点的坐标和向量的坐标联系起来,巧妙地解答了这一问题。学生通过对问题的思考,尽快地投入到新概念的探索中去,从而激发了学生的好奇以及探索和创造的欲望,使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。除此之外,教师通过反例、错解等进行辨析,也有利于学生巩固概念。

高中数学新课标提出了与时俱进地认识“双基”的基本理念,概念教学是“双基”教学的重要组成部分,概念教学的根本目的是通过数学概念教学,使学生认识概念、理解概念、巩固概念、应用概念。通过概念课教学,力求使学生明确(1)概念的发生、发展过程以及产生背景;(2)概念中有哪些规定和限制的条件,它们与以前的哪些知识有联系;(3)概念的名称、表述的语言有何特点;(4)概念有没有等价的叙述;(5)运用概念能解决哪些数学问题等。总之,在概念教学中,要根据新课标对概念教学的具体要求,创造性地使用教材。优化概念教学设计,把握概念教学过程,真正使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造,达到认识数学思想和本质的目的。

参考文献:

1. 徐利治.数学方法论选讲.武昌:华中工学院出版社,1983.4.

2. 张奠宙、过伯祥.数学方法论稿.上海:上海教育出版社,1996.5-6.

3. G.波利亚(G.Polya).怎样解题.北京:科学出版社,1982.

篇二:提升高中数学概念教学有效性的策略研究

优化概念教学 促进有效学习

——提升高中数学概念教学有效性的策略研究

萧山三中 周黎祥

摘要:概念的教学贯穿于数学教学过程的始终,充分经历概念形成过程,突出概念本质,丰富概念外延是当前新课程下概念教学的根本要求,这样的概念教学才是扎实有效的。本文结合案例,反思当前概念教学的现状,结合自己的教学经验,从“创设情境,感知概念”、“自主探索,生成概念”、“步步为营,理解概念”、“螺旋上升,内化概念”、“返璞归真,升华概念”五个方面具体阐述了一个普通教师在高中数学概念教学中如何实施有效性的策略研究,并期以抛砖引玉,唤起更多的教师能聚焦概念教学,探索概念教学的基本规律。

关键词: 数学概念 有效性 策略研究

一、问题的提出

1、高中数学概念教学的重要地位

数学概念是反映数量关系与空间形式本质属性的思维形式,是数学思维的细胞。各种数学方法,解决各种数学问题,都必须运用数学概念。《普通高中数学课程标准(实验)》指出:数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握,对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终,帮助学生逐步加深理解。匡继昌认为:“学生如果不能正确的理解数学中的各种概念,就不能掌握各种法则、定理、公式,从而也就不能正确地进行计算和论证。”因此,数学的教学首先是概念的教学。在高中阶段数学的概念可以简单的分为两类:一类是以前不曾接触过的,完全陌生的概念,如:集合,数列,向量,导数的概念等等;另一类是已经有所接触或是似曾相识,是由原有的概念发展而来的,如:数的概念,角的概念,函数的概念,指数的概念,曲线的切线概念等等。第二类情况我们称之为概念的发展。在中学数学中,许多重要概念将逐步发展与深化。例如“函数”概念,初中学生只能作“在一个变化过程中,有两个变量x和y,并且对于x每一个确定的值,在y中都有唯一确定的值与其对应,则说y是x的函数”之类的直观理解,而高中学生就可以用集合的语言,从映射的观点出发来理解,大学生则可以用“关系语言”来理解它。所以在高中数学概念教学中要揭示概念的内涵与外延,使学生深刻理解概念,牢固掌握概念,灵活运用概念,即达到理解、巩固、系统、会用的目的,因此,高中数学概念教学具有十分重要的基础性地位。

2、概念教学有效性研究的意义

数学概念教学是“双基”教学的核心,是数学教学的重要组成部分。有些教师往往用例题教学替代概念的概括过程,认为“应用概念的过程就是理解概念的过程”。殊不知没有概括过程必然导致概念理解的先天不足,没有理解的应用是盲目的应用。数学素养差的关键是在对数学概念的理解、应用和转化

等方面的差异,因此抓好概念教学是提高数学教学质量的带有根本性意义的一环。那么在新课标下如何帮助学生更有效地理解数学概念,如何才能灵活地应用数学概念解决数学问题?我想关键的环节还是在于教师如何提升数学概念教学的有效性,通过有效的概念教学,使学生顺利地获取有关概念。教学时提供丰富的感性材料让学生观察,在观察的基础上通过教师的启发引导,对感性材料进行比较、分析、综合,最后再抽象概括出概念的本质属性,通过一系列的判断、推理使概念得到巩固和运用,从而使学生的初步逻辑思维能力逐步得到提高。为此“高中数学概念教学有效性的研究”具有现实意义。

二、概念教学现状分析

当前,不重视概念教学是一个比较普遍的现象,“一个定义,三个注意项”式的概念教学比比皆是,让学生觉得学习数学概念枯燥乏味,影响了对数学概念的理解。我们有必要静下心来对当前数学概念教学作一番审视,先看我校高一备课组举行的“同课异构”教研活动中2位教师执教的关于“函数的奇偶性”一课的案例片断。

【案例1】

师:前面我们研究了函数的单调性,同学们已经知道函数的单调性是函数的一个重要性质,它在解决函数的问题中有着十分广泛的应用。今天这节课,我们要学习函数的另一个重要性质——奇偶性。(板书课题:函数的奇偶性)

师:什么是函数的奇偶性呢?请大家打开课本第33和35页,看教材中是怎么阐述的。(大约2分钟后)

师:哪位同学说说看。

生1:设函数y?f(x)的定义域为A,如果对于任意的x?A,都有f(?x)?f(x),那么称函数y?f(x)是偶函数,如果对于任意的x?A,都有f(?x)??f(x),那么称函数y?f(x)是奇函数。(学生口述,教师板书)

师:很好!如果函数y?f(x)是奇函数或偶函数,它的定义域A应该具有怎样的特点?

生2:关于原点对称。

师:说说你的理由。

生2:因为如果x?A,则只有?x?A,才能计算f(?x)。

师:真不错!如果函数y?f(x)是奇函数或偶函数,它的图象又具有怎样的特点呢?

生3:奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称。

师:非常好!看来同学们已经作了很好的预习。如果函数y?f(x)是奇函数或偶函数,我们就说

函数y?f(x)具有奇偶性。函数的奇偶性是函数的又一重要性质,它在解决函数问题时有着十分广泛的应用。请大家看下面的问题。(投影显示问题1、问题2、问题3和问题4)

(师生共同探讨上述问题的解题思路和解题过程,深化对函数奇偶性的认识和理解。)

【案例2】

师:请同学们回顾上节课学习的函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。

(学生回答略)

师:很好!下面我们研究函数的第二个性质——奇偶性。

师:请同学们先看一个我们熟悉的函数f(x)?x2,计算f(1)与f(?1),f(2)与f(?2),f(3)与f(?3),能得出怎样的结论?

生:对于y?x2,当自变量取一对相反数时,y取同一值.记f(x)?y?x2,有f(?)?f(),1

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f(?1)?f(1),?,一般地,有f(?x)?f(x)。 1,又有怎样的结论呢? x

11生:当自变量x取一对相反数时,y亦取相反数.例如f(?)??f(),f(?1)??f(1),…,22师:非常好,下面请大家再来研究函数g(x)?

一般地,有f(?x)??f(x)。

由此启发学生得出奇(偶)函数的定义.强调:①定义本身蕴含着函数的定义域必须是关于原点的对称区间;②“定义域内任一个”是指对定义域内的每一个x; ③判断函数奇偶性最基本的方法是先看定义域,再用定义检查f(?x)?f(x)(或f(?x)??f(x))。

(以下是例题巩固、数学应用的环节)

从上面几个案例不难看出当前概念教学的现状:

现状一:一个定义三项注意

案例1中令人感到遗憾的是,这节课的教学,从上课开始到给出定义,总共花了不到10分钟的时间,接着进行的就是运用函数奇偶性的概念进行解题的训练。对函数奇偶性这一概念建立的过程没能很好地展开,为什么要研究函数的奇偶性?函数的奇偶性的定义为什么要这样给出??当前的数学课堂中,教师不舍得在概念、定义的发生发展过程上花时间,认为这样“太虚”,不如让学生多做几个题目实在。因而概念教学常常用“一个定义三项注意”的方式,告诉学生定义的内容,强调几个注意事项(例如强调“要注意,必须是‘任意’的”),然后就讲例题、做练习。实践表明,这样的教学对学生把握和应用概念都产生了不利影响,学生没有基本把握概念内涵的时候就要求学生用概念解决问题,结果只能是机械模仿,不可能有理想的解题质量和效率。

现状二:无视学生认知需求

案例2中学生通过对两个特殊函数的研究,抽象出函数奇偶性的概念,符合特殊到一般的认知规律。但是,为什么要研究函数的奇偶性?为什么要计算f(1),f(?1),??为什么要用这样的方式给出函数奇偶性的定义?显然,教师在进行教学设计和教学实施时,只是站在教师教的角度,按照教师的主观意志组织活动,将教师的意图强加给学生,而无视学生的认知需求,其结果是忽视了构成概念的基础条件,留给学生更多的只是些文字的公式,所传授的概念距离学生的理解和经验太远,影响数学概念的掌握。

现状三:重视内涵忽视外延

概念只要将内涵按一定规律扩大或缩小便可形成一类概念,再根据这些概念的外延及相互关系,便可确定一个概念系统。但是概念教学中往往只重视概念的内涵而忽视概念的外延,结果导致外延被扩大或缩小。比如,学生把非本质属性包括到概念的内涵中,如此就会不合理地缩小了概念,消除这种错误的有效方法是多提供包括非本质特征的变式。当概念的内涵中包含的不是事物的本质而是其他特征时,如此就有可能不合理地扩大概念,消除这种错误的有效方法是提供具有本质特征的变式。

对上述概念教学现状的分析,事实上也是对现有高中数学概念教学模式的一种深刻反思,有效的数学概念教学,决不是以让学生学会概念为终极目标,而是让学生在参与数学活动的过程中生成和建构数学概念,更要让学生在知识和能力上获得全面的发展,从而促进数学素养的有效提升。如何创造一种更加适合高中学生的概念教学方式,如何提高概念教学的有效性,值得我们努力探究。

三、概念教学有效性的理性认识

1、课题研究的理论依据

一般来说,数学概念要经历感知、理解、巩固和应用四种心理过程。数学概念教学主要依据有如下理论。

(1)奥苏贝尔(当代美国的著名教育心里学家)概念学习理论: 在奥苏贝尔的理论中,所谓概念亦即同类事物的共同关键特征,它是类与类,类与事物相区别的关键。而概念学习则是指学习者通过学习概念既掌握同类事物的关键特征,同时也区分概念的有关特征与无关特征,概念的肯定例证与否定例证。在奥苏贝尔的概念学习理论中,他将概念的习得分作了概念的形成与概念的同化两种形式,这两种形式也较深刻的揭示出了学生知识形成的过程。

(2)皮亚杰的建构理论:

皮亚杰的认识理论形成的四阶段:感知运动阶段、前运演阶段、具体运演阶段、形式运演阶段。这四个阶段在概念的形成过程中表现为:隐概念、前概念、初概念和逻辑数学概念。皮亚杰认为,发生认识的发展涉及到图式、同化、顺应和平衡四个方面。在涉及概念形成的条件时,皮亚杰认为,概念的形成正是基本知觉材料与超越知觉范围的逻辑数学结构的结合、因此知识是一种结构,然而离开了主体的

建构活动,就不能有知识的产生。皮亚杰认为,概念的掌握过程无非是经历了一个同化与顺应的过程;所谓同化,就是把新概念、新知识接纳入到一个已知的认知结构中去;所谓顺应,就是当原有的认知结构不能纳入新概念时,必须改变已有的认知结构,以适应新概念。

2、课题概念的界定

(1)数学概念

概念是反映对象的特有属性的思维形式。人们通过实践,从对象的许多属性中,抽出其特有属性概括而成。概念的形成,标志人的认识已从感性认识上升到理性认识。科学认识的成果,都是通过形成各种概念来总结和概括的。数学概念,是对客观事物或思想事物的数量关系、空间形式或结构形式的特征概括及其本质属性在人们头脑中的反映。一个数学概念通常用一个词(名称)或符号表示。

(2)数学概念教学

有关数学概念教学的定义很多。结合小学生的年龄特征,笔者认为是在一个具体的情境下,学生通过感知概念的表象等方式,进而理解概念的本质,初步建立新的知识结构的过程。重点指向的是学生学习概念内核,最后达成运用概念,巩固、拓展的环节。

(3)有效教学

从教学投入与教学产出的关系来看,有效教学是有效率的教学;是指在一定的教学投入内(时间、精力、努力)带来最好教学效果的教学;是指教师遵循教学活动的客观规律,以尽可能少的投入,取得尽可能多的教学效果,从而实现特定的教学目标,满足社会和个人的教育价值需求。

从学生的学习出发点来看,有效教学就是促进学生有效学习,使学生学好;是指成功实现了教学目的――学生愿意学习和在教学后能够从事教学前所不能从事的学习的教学。

从“教学”的内涵来看,有效教学是教师教的活动即教学过程的有效性。从“有效”来看,它表现为教学有效果、有效率和有效益。有效果指学生的学习进步与发展;有效率指单位教学投入内所获得的产出高;有效益指教学目标与特定的社会与个人的教育需求相吻合。

3、数学概念教学的一般原则

(1)现实性原则——重视概念的引入

在教学中,既应注意从学生的生活经验出发,也应该注意从解决数学内部的运算问题出发来引入概念,引导他们抽象出相应的数学概念,才能使学生较好地掌握概念的实质。

(2)科学性原则——揭示概念内涵和外延

为准确、深刻地理解概念,教师在提供感性认识的基础上,必须作出辩证分析,用不同方法揭示不同概念的本质,这样,把握了概念的外延和内涵,也就能进一步掌握了概念的本质。

(3)比较性原则——注意概念之间的对比

有些概念是成对出现的(如正数与负数等);有些概念是由概念的逆反关系派生出来的(如指数与

篇三:关于高中数学概念教与学研究综述

关于高中数学概念“教”与“学”研究综述

摘要:从数学概念和数学概念的特点,谈谈数学概念学习在中学数学学习中的重要地位,了解国内高中数学概念教学的现状,探析APOS理论和数学概念学习的心理分析对高中数学概念教学的指导。找出影响学生学习数学概念的因素,研究出概念学习的对策,让老师更好的把握数学概念的教学

关键词:数学概念 教 学

关于高中数学概念“教”与“学”研究综述

摘要:从数学概念和数学概念的特点,谈谈数学概念学习在中学数学学习中的重要地位,了解国内高中数学概念教学的现状,探析APOS理论和数学概念学习的心理分析对高中数学概念教学的指导。找出影响学生学习数学概念的因素,研究出数学概念教学的对策,让老师更好的把握数学概念的教学

关键词:数学概念 教 学

一、什么是数学概念及数学概念的特点

从逻辑学的角度考虑,每个概念都是其内涵与外延的统一体。概念内涵是指概念所反映的对象的本质属性。概念的外延是指具有概

念内涵的一切对象的集合。 概念的内涵与外延是互相制约的,当概念的内涵扩大时,其外延则缩小,在逻辑学里叫做反变关系。

数学概念有以下特点:1、数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式,它具有相对独立性。概念反映的是一类对象的本质属性,它们已被舍去了具体的物质性质和关系;数学概念不仅产生于客观世界中的具体事物,而且产生于“思维结果”(例如,零指数幂、零阶乘、无穷远点等),这些与现实内容相脱离,具有相对独立性。2、数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面本质属性的思维形式,因而它在这一类对象的范围内具有普遍意义。3、数学概念是人类对现实世界的空间形式和数量关系的简明、概括的反映,并且都由反映概念本质特征的符号来表示。 数学概念的这种特性使学生在较短时间内掌握大量数学概念及其系统成为可能。4、数学概念是具体性与抽象性的辨证统一。一些数学基本概念是一类事物在数量关系和空间形式方面的关键属性的抽象,属于初级抽象,具有明显的直观意义。以“矩形”概念为例,从这种意义上说,数学概念“脱离”了现实;数学中还有许多概念是在抽象之上的抽象,是由概念所引出的概念,例如从数到群到范畴等等;数学中还有许多概念是“思维的自由想象和创造的产物”,它们与真实世界的距离是非常遥远的,如“虚数”、“n维空间”等。这些都说明,数学是高度抽象的。高层次的概念总是以低层次概念为具体内容。

二、数学概念学习在中学数学学习中的重要地位

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的学科,是一个完全自

成体系,极为宽广的知识领域。而数学概念是数学科学知识体系的基础,又表现为数学思维的一种形式。数学概念不是人们主观臆断的结果,而是在研究数量关系和空间形式的过程中形成的,它是现实世界中空间形式和数量关系及其特有的属性(或本质属性)在思维中的反映,经历了从感性认识到理性认识两个阶段。掌握数学概念对数学知识的学习和能力的培养具有“奠基植根”作用。只有正确理解并掌握了基本概念,才能正确认识数学的基本规律,才可能有正确、合理的分析推理能力及迅速、简捷的运算技巧。正如《中学数学教学大纲》所指出的那样:“应当引导学生在学好概念的基础上,掌握数学的规律,并着重培养学生的能力。”因此正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。可见,数学概念的学习是整个数学学习过程中一个非常重要的环节。

三、国内高中数学概念教学的现状

数学概念的教学一般都要经历概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的应用(包括概念所涉及的数学思想方法的运用)等阶段。在数学概念的教学中,很多教师往往不注重概念的形成过程,只重视概念的运用,忽视数学知识的产生与形成的重要阶段,强行地将一些新的数学概念灌输给学生,无不体现学生的主体性,将严重影响学生形成正确的数学观,阻碍学生的能力发展。造成这种现象的原因,一方面是由于教师的教学观念比较陈旧,在教学中不重视学生的思维活动,不能使学生的认知过程成为一个再创造的过程,实现发现、理 解、创造与应用;另一方面是许多教师不知如何创设数学概念形成的

问题情景,循序渐进地引导学生开展探索活动。

近年来,我国的数学概念教学提出采用概念形成和概念同化的方式进行,而大多数教师习惯使用概念同化教学。:(1)揭示概念的本质属性,给出定义、名称和符号,(2)对概念进行特殊分类,揭示概念的外延;(3)巩固概念,利用概念的定义进行简单的识别活动;(4)概念的应用与联系,用概念解决问题,并建立所学概念与其它概念间的联系。这种教学过程比较简明,使学生能够比较直接的学习概念,因此,被称为“是学生获得概念的最基本方式”。

概念同化教学方式是建立一般学习理论基础之上,偏重于概念的逻辑结构教学,忽视数学概念本身的涵义。数学概念具有过程——对象的双重性,既是逻辑分析的对象,又是具有现实背景和丰富寓意的教学过程。因此,必须返朴归真,揭示数学概念的形成过程。让学生从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用、形式表述和符号化的运用等多方位理解一个数学概念,使之符合学生主动建构的教育原理。

四、APOS理论指导高中数学概念教学探析

APOS理论是一种建构主义的学习理论,该理论集中于对特定内容—数学概念学习过程的研究,对学习过程中学生的思维活动做出深入的研究,提出学生学习概念要经过“操作”、“过程”、“对象”和“概型”4个阶段,体现了数学概念形成的规律性。为教师提供了一种建构主义的教学策略。以函数概念为例,第一阶段——操作(Action)阶段.理解函数需要进行活动或操作.例如,在有现实背

景的问题中建立函数关系y = x2,需要用具体的数字构造对应:2→4;3→9;4→16;5→25??通过操作,理解函数的意义.第二阶段——过程(Process)阶段.把上述操作活动综合成函数过程.一般地有x→x2;其它各种函数也可以概括为一般的对应过程:x→f (x).第三阶段——对象(Object)阶段.然后可以把函数过程上升为一个独立的对象来处理;比如,函数的加减乘除、复合运算等.在表示式f (x)±g (x)中,函数f (x)和g (x)均作为整体对象出现.第四阶段——概型(Scheme)阶段.此时的函数概念,以一种综合的心理图式而存在于脑海中,在数学知识体系中占有特定的地位.这一心理图式含有具体的函数实例、抽象的过程、完整的定义,乃至和其它概念的区别和联系(方程、曲线、图像等等).取这 4 个阶段英文单词的首字母,定名为APOS 理论.

APOS 理论是一种社会建构主义的学习理论,它指出学生数学概念学习过程是建构的,并表明建构的层次.强调在学习数学概念中首先处理的数学问题要具有社会现实背景,并要求学生开展各种各样的数学活动,活动中学生在已有的知识和经验基础上通过思维运算和反省抽象,对概念所具有的直观背景和形式定义进行必要的综合,从而达到建构数学概念的目的.建构的4 个层次(阶段)一般不能逾越,应当循序渐近.同时又不可只停留在具体、直观、视觉化的阶段,必须升华、逐级地反省抽象,最后完成数学概念的建构.

五、数学概念学习的心理分析。

喻平老师从概念间的关系入手, 探讨数学概念学习的心理过程。

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